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九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

0<α<1，0<β<1とする．
平行四辺形ABCDの辺BCをα:1−αに内分する点をPとし，
辺CDを1−β:βに内分する点をQとする．
また，線分QPと平行四辺形の対角線ACの交点をRとする．
AB→=a→，AD→=b→として次の問いに答えよ．

(1) ベクトルAP→とAQ→を
a→，b→を用いて表せ．

(2) 長さの比QRRPおよびARACを求めよ．

(3) AB=2，AD=1，∠DAB=60∘とするとき，△AQRの面積を求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安20分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、面積比、三角比の利用

方針

平行四辺形の頂点を A を基準に a⃗,b⃗ の係数で表す。P と Q の位置ベクトルを出した後、交点 R を一方では AC 上の点 v(a⃗+b⃗)、他方では Q+s(P−Q) と表して係数比較する。s は QR:RP を、v は AR:AC をそのまま与える。面積は a⃗,b⃗ の作る平行四辺形の面積 2⋅1⋅sin⁡60∘=3 に、係数の行列式から出る倍率を掛ける。

解答

(1) A を基準に考えると B=a⃗,D=b⃗,C=a⃗+b⃗ である。

点 P は辺 BC を α:1−α に内分するから、B から C へ α だけ進んだ点である。よって AP→=a⃗+αb⃗ である。

また点 Q は辺 CD を 1−β:β に内分するから、D から C へ β だけ進んだ点である。したがって AQ→=βa⃗+b⃗ である。

(2) R は対角線 AC 上にあるので、ある実数 v を用いて AR→=v(a⃗+b⃗) と書ける。また R は線分 QP 上にあるので、ある実数 s を用いてAR→=AQ→+s(AP→−AQ→)と書ける。この s は QR/QP を表す。

(1) を代入するとAR→=βa⃗+b⃗+s{(1−β)a⃗−(1−α)b⃗}={β+s(1−β)}a⃗+{1−s(1−α)}b⃗.一方で AR→=va⃗+vb⃗ だから、係数比較により v=β+s(1−β),v=1−s(1−α) である。これらを等しくして β+s(1−β)=1−s(1−α) を得る。よって s(2−α−β)=1−β,s=1−β2−α−β. したがって 1−s=1−α2−α−β であり、QRRP=s1−s=1−β1−α である。

またv=1−s(1−α)=1−(1−β)(1−α)2−α−β=1−αβ2−α−βである。よって ARAC=v=1−αβ2−α−β である。

(3) ∣a⃗∣=2, ∣b⃗∣=1, ∠DAB=60∘ なので、a⃗,b⃗ の作る平行四辺形の面積は 2⋅1⋅sin⁡60∘=3 である。 Q と R の係数はそれぞれ Q:(β,1),R:(v,v) である。したがって、△AQR の面積は12∣∣βv1v∣∣3=12 v(1−β)3である。ここで 0<β<1 かつ v>0 であるから絶対値はこの形で外せる。

(2) で求めた v=1−αβ2−α−β を代入して[△AQR]=3(1−β)(1−αβ)2(2−α−β)である。

平行四辺形内の交点

総評

難度6、計算量6。目安時間は20〜25分。交点 R を「対角線上」と「線分 QP 上」の2通りで表す標準問題だが、内分比の向きが2か所で違うため、P=a+αb, Q=βa+b を最初に確定することが重要である。面積では実際の長さを求め直さず、係数の行列式で平行四辺形面積に対する倍率を出すと簡潔になる。QR/RP と AR/AC はそれぞれ s/(1−s), v であり、どの係数がどの比に対応するかを答案中で明記したい。

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出典: 九州大学 2004年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。