九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式理系数学 第4問(b)

(1) $z=t+ai$ とおくと $$z^2=(t+ai{)}^2=t^2-a^2+2ati$$ である。$z^2=X+iY$ とおけば $X=t^2-a^2,Y=2at$ である。したがって $$t={\displaystyle \frac{Y}{2a}}$$ を消去して $$X={\displaystyle \frac{Y^2}{4a^2}}-a^2$$ を得る。

よって軌跡は、頂点 $(-a^2,0)$、軸が $X$ 軸で、$X$ 軸の正の向きに開く放物線である。

(2)
点 $X+iY$ が回転後の直線 $m$ 上にあることは、これを角 $-\theta$ だけ戻した点が直線 $l$ 上にあることと同値である。したがって $$\mathrm{Im}\{(X+iY)(\cos \theta -i\sin \theta )\}=a$$ であり、$$-X\sin \theta +Y\cos \theta =a$$ が $m$ の方程式である。

(1) の放物線 $$X={\displaystyle \frac{Y^2}{4a^2}}-a^2$$ を代入すると $$-({\displaystyle \frac{Y^2}{4a^2}}-a^2)\sin \theta +Y\cos \theta =a$$ である。 $\sin \theta \mathrm{\ne }0$ のとき、これは $Y$ の二次方程式であり、その判別式は正の定数倍を除いて $1-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{a}}$ である。したがって、$\sin \theta <a$ なら2点、$\sin \theta =a$ なら1点、$\sin \theta >a$ なら0点である。

ただし $\sin \theta =0$ のときは二次方程式ではなく $Y\cos \theta =a$ となり、$\cos \theta =\pm 1$ なので放物線と1点で交わる。

以上より交点の個数は$$\{\begin{array}{ll}2& (\sin \theta <a,\sin \theta \mathrm{\ne }0),\\ 1& (\sin \theta =0\text{ または }\sin \theta =a),\\ 0& (\sin \theta >a)\end{array}$$である。特に $\sin \theta <0$ のときは第1の場合に含まれ、2点で交わる。

放物線と回転後の直線を連立した式を $Y$ について平方完成する。二次方程式が退化する $\sin \theta =0$ を先に分ける。

(1) $$z^2=(t^2-a^2)+2ati$$より、$z^2=X+iY$ の軌跡は$$X={\displaystyle \frac{Y^2}{4a^2}}-a^2\mathrm{.}$$(2)
回転後の直線 $m$ は$$-X\sin \theta +Y\cos \theta =a\mathrm{.}$$$\sin \theta =0$ なら $Y=\pm a$ となり、放物線との交点は1個である。

$\sin \theta \mathrm{\ne }0$ のとき放物線を代入し、$Y$ の二次方程式として整理すると$$(\sin \theta )Y^2-4a^2(\cos \theta )Y-4a^3(a\sin \theta -1)=0.$$判別式 $D$ は$${\displaystyle \frac{D}{4}}=4a^3(a-\sin \theta )\mathrm{.}$$よって交点数は$$\{\begin{array}{ll}2& (-1\leqq \sin \theta <0,0<\sin \theta <a),\\ 1& (\sin \theta =0,a),\\ 0& (a<\sin \theta \leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$