九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$\beta =z-1=(\cos \theta -1)+i\sin \theta$$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(\cos \theta -1{)}^2+{\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\cos }^2\theta -2\cos \theta +1+{\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2\cos \theta \mathrm{.}}\end{array}$$半角公式 $$1-\cos \theta =2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ を用いると $$2-2\cos \theta =4{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ である。$$0^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ より $$0^{\circ }<{\displaystyle \frac{\theta }{2}}<{90}^{\circ }$$ なので $$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}>0$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }=2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ である。

(2) $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ と書けるので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \beta }& {\displaystyle =\cos \theta -1+i\sin \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}+i2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+i\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{90}^{\circ })=-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}},\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{90}^{\circ })=\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$であるから、$$\beta =2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\{\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{90}^{\circ })+i\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{90}^{\circ })\}\mathrm{.}$$(1)より係数 $2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$ は正であり、また $${90}^{\circ }<{\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{90}^{\circ }<{180}^{\circ }$$ である。したがって指定された範囲 $$0^{\circ }\leqq \arg \beta <{360}^{\circ }$$ で $$\arg \beta ={\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{90}^{\circ }$$ である。

(3) $\theta ={60}^{\circ }$ とする。まず$$\alpha =z+1=({\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+1={\displaystyle \frac{3}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$であるから、$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\sqrt{3},\arg \alpha ={30}^{\circ }$$ である。また(1),(2)より $$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }=2\sin {30}^{\circ }=1,\arg \beta ={120}^{\circ }$$ である。

よって$$\mathrm{\mid }{\alpha }^m{\beta }^n\mathrm{\mid }=(\sqrt{3}{)}^m,\arg ({\alpha }^m{\beta }^n)=30m+120n(\text{度})$$である。虚部は $(\sqrt{3}{)}^m\sin (30m+120n{)}^{\circ }$ で求められる。9通りを並べると$$\begin{array}{cccc}& n=1& n=2& n=3\\ m=1& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -\sqrt{3}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ m=2& 0& -{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\\ m=3& -{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}& 3\sqrt{3}\end{array}$$である。したがって虚部の最小値は $-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ であり、その最小値を与える組は $(m,n)=(2,2),(3,1),(3,2)$ である。

$\alpha =z+1$ と $\beta =z-1$