九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 確率・積分理系数学 第4問(c)

(1)
当たりの確率を $p(a)$ とする。単位正方形の面積は1なので、求める確率は $0\leqq y\leqq x(a-x)$ となる部分の面積である。

まず $0<a\leqq 1$ のとき、$x(a-x)\geqq 0$ となるのは $0\leqq x\leqq a$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{a}x(a-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3]}_0^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$次に $1<a\leqq 2$ のとき、正方形内では $0\leqq x\leqq 1$ を考えればよく、この範囲で $x(a-x)\geqq 0$ である。また最大値も1以下である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}x(a-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a^3}{6}}& (0<a\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}& (1<a\leqq 2)\end{array}$$である。

(2)
(1) より$$p\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{48}},p\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$$である。2回の試行は独立なので、1回だけ当たる確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{48}}(1-{\displaystyle \frac{5}{12}})+(1-{\displaystyle \frac{1}{48}}){\displaystyle \frac{5}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{48}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{47}{48}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{12}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{121}{288}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
当たり確率を $p$ とする。3回落として少なくとも1回当たる確率は $1-(1-p{)}^3$ である。また当たりの数の期待値は $3p$ である。条件は $$1-(1-p{)}^3\geqq {\displaystyle \frac{19}{27}},3p\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

第1の不等式は $(1-p{)}^3\leqq {\displaystyle \frac{8}{27}}$ であり、$0\leqq p\leqq 1$ なので $1-p\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$ すなわち $p\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。第2の不等式は $p\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となればよい。

(1) の式を見ると、$0<a\leqq 1$ では $p(a)\leqq 1\mathrm{/}6$ なので条件を満たさない。したがって $1<a\leqq 2$ で $${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を解けばよい。これより $${\displaystyle \frac{4}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{3}}$$ である。

面積から1回の当たり確率 $p(a)$ を求める。(3) は二項分布の条件を先に $1\mathrm{/}3\leqq p\leqq 1\mathrm{/}2$ へ直し、単調な $p(a)$ を逆算する。

(1)
単位正方形内で放物線の下にある面積を積分すると$$p(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\int }_0^{a}x(a-x)dx={\displaystyle \frac{a^3}{6}}}& (0<a\leqq 1),\\ {\displaystyle {\int }_0^{1}x(a-x)dx={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}}& (1<a\leqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$(2)$$p\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{48}},p\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{12}}\mathrm{.}$$したがって1回だけ当たる確率は$${\displaystyle \frac{1}{48}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{47}{48}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{121}{288}}\mathrm{.}$$(3)
3回のうち少なくとも1回当たる確率と期待値の条件は$$1-(1-p{)}^3\geqq {\displaystyle \frac{19}{27}},3p\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$0<a\leqq 1$ では $p\leqq {\displaystyle \frac{1}{6}}$ なので不可能である。
$1<a\leqq 2$ で$${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$を解き、$${\displaystyle \frac{4}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{.}$$