九州大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$OA=\sqrt{t^2+4^2}=\sqrt{t^2+16}$$ であり、$$AB=\sqrt{(6-t{)}^2+(7-4{)}^2}=\sqrt{(6-t{)}^2+9}$$ である。領域 $D$ 内では速さ $u$、領域 $E$ 内では速さ $v$ で動くので、所要時間は $$f(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{t^2+16}}{u}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{(6-t{)}^2+9}}{v}}$$ である。 $0<t<6$ で微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{t}{u\sqrt{t^2+16}}}-{\displaystyle \frac{6-t}{v\sqrt{(6-t{)}^2+9}}}$$ である。端点での片側の様子を見ると $$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-{\displaystyle \frac{6}{v\sqrt{45}}}<0,f^{\mathrm{\prime }}(6)={\displaystyle \frac{6}{u\sqrt{52}}}>0$$ である。したがって $t=0$ の近くでは右へ動かすと $f(t)$ は小さくなり、$t=6$ の近くでは左へ動かすと $f(t)$ は小さくなる。連続関数 $f(t)$ は閉区間 $[0,6]$ で最小値をもつが、その最小値は端点ではなく、区間 $0<t<6$ の内部で与えられる。

(2)

最小値を与える点を $0<t<6$ とする。この点では $f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ であるから、$${\displaystyle \frac{t}{u\sqrt{t^2+16}}}={\displaystyle \frac{6-t}{v\sqrt{(6-t{)}^2+9}}}$$ が成り立つ。

角 $\alpha$ は直線 $OA$ と縦の直線 $x=0$ がなす角である。$OA$ の長さは $\sqrt{t^2+16}$ で、縦方向の成分は4、横方向の成分は $t$ なので $$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{t^2+16}}}$$ である。

同様に、角 $\beta$ は直線 $AB$ と縦の直線 $x=6$ がなす角である。$AB$ の長さは $\sqrt{(6-t{)}^2+9}$ で、横方向の成分は $6-t$ なので $$\sin \beta ={\displaystyle \frac{6-t}{\sqrt{(6-t{)}^2+9}}}$$ である。

これらを $f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ の式に代入すると $${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{u}}={\displaystyle \frac{\sin \beta }{v}}$$ が得られる。

(3) $\tan \alpha$ と $\tan \beta$ を $t$ で表す。角は縦の直線となす角なので $$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{t}{4}},\tan \beta ={\displaystyle \frac{6-t}{3}}$$ である。 $s=\tan \alpha$ とおくと $t=4s$ である。また $\beta =2\alpha$ より $$\tan \beta =\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2s}{1-s^2}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{6-4s}{3}}={\displaystyle \frac{2s}{1-s^2}}$$ を得る。整理すると $(6-4s)(1-s^2)=6s$ すなわち $2s^3-3s^2-5s+3=0$ である。これは $$(s-{\displaystyle \frac{1}{2}})(2s^2-2s-6)=0$$ と因数分解できる。 $$0\leqq \beta =2\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ なので $$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$、したがって $0\leqq s\leqq 1$ である。この範囲に入る解は $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ だけである。よって $$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}},\cos \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$$ である。

(2) より $${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{u}}={\displaystyle \frac{\sin 2\alpha }{v}}$$ であり、したがって$${\displaystyle \frac{u}{v}}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin 2\alpha }}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$$である。

二つの領域を通る最短時間経路