九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

二項展開により $$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$$ であり、$$(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4$$ である。

(2) $A$ と同じ形の行列どうしを掛けると、再び$$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right)$$の形になる。$A^4$ を$$A^4=\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Y& X\end{array}\right)$$とおく。

この行列の各行の和は $X+Y$ である。一方、$A$ の各行の和は $a+b$ なので、4回掛けると行和は $X+Y=(a+b{)}^4$ となる。また、1行目の成分の差は $X-Y$ であり、$A$ ではその差が $a-b$ なので、同様に $X-Y=(a-b{)}^4$ となる。

したがって $$X={\displaystyle \frac{(a+b{)}^4+(a-b{)}^4}{2}},Y={\displaystyle \frac{(a+b{)}^4-(a-b{)}^4}{2}}$$ である。よって$$A^4={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}(a+b{)}^4+(a-b{)}^4& (a+b{)}^4-(a-b{)}^4\\ (a+b{)}^4-(a-b{)}^4& (a+b{)}^4+(a-b{)}^4\end{array}\right)$$である。

(3)

自然数 $n$ に対して$$A^n={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}(a+b{)}^n+(a-b{)}^n& (a+b{)}^n-(a-b{)}^n\\ (a+b{)}^n-(a-b{)}^n& (a+b{)}^n+(a-b{)}^n\end{array}\right)$$であることを示す。 $n=1$ のとき、右辺は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}(a+b)+(a-b)& (a+b)-(a-b)\\ (a+b)-(a-b)& (a+b)+(a-b)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)=A$$となり成り立つ。

ある $n$ で成り立つとする。右辺の対角成分を $X$、非対角成分を $Y$ とすれば $$X+Y=(a+b{)}^n,X-Y=(a-b{)}^n$$ である。これに $A$ を右から掛けた $A^{n+1}$ の対角成分を $X^{\mathrm{\prime }}$、非対角成分を $Y^{\mathrm{\prime }}$ とすると $$X^{\mathrm{\prime }}=aX+bY,Y^{\mathrm{\prime }}=bX+aY$$ である。よって $$X^{\mathrm{\prime }}+Y^{\mathrm{\prime }}=(a+b)(X+Y)=(a+b{)}^{n+1}$$ かつ $$X^{\mathrm{\prime }}-Y^{\mathrm{\prime }}=(a-b)(X-Y)=(a-b{)}^{n+1}$$ である。したがって$$X^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{(a+b{)}^{n+1}+(a-b{)}^{n+1}}{2}},Y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{(a+b{)}^{n+1}-(a-b{)}^{n+1}}{2}}$$となり、$n+1$ でも同じ形が成り立つ。以上より公式が示された。

(4) $b=1-a$ であるから $a+b=1,a-b=2a-1$ である。(3)より、$A^n$ の $(1,1)$ 成分は $$x_n={\displaystyle \frac{1^n+(2a-1{)}^n}{2}}={\displaystyle \frac{1+(2a-1{)}^n}{2}}$$ である。 $0<a<1$ より $-1<2a-1<1$ であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2a-1{)}^n=0$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

和方向と差方向

$K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ と置き、$A=aI+bK$，$K^2=I$ を使う。二項展開の偶数次・奇数次を分ければ一般の $A^n$ が直接得られる。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a+b{)}^4}& {\displaystyle =a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4,}\\ {\displaystyle (a-b{)}^4}& {\displaystyle =a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$と置くと $A=aI+bK$，$K^2=I$ である。偶数次と奇数次を分ければ$$A^4={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}(a+b{)}^4+(a-b{)}^4& (a+b{)}^4-(a-b{)}^4\\ (a+b{)}^4-(a-b{)}^4& (a+b{)}^4+(a-b{)}^4\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)
同じ二項展開を一般の $n$ で行うと$$A^n={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}(a+b{)}^n+(a-b{)}^n& (a+b{)}^n-(a-b{)}^n\\ (a+b{)}^n-(a-b{)}^n& (a+b{)}^n+(a-b{)}^n\end{array}\right)\mathrm{.}$$(4)
$b=1-a$ のとき$$x_n={\displaystyle \frac{1+(2a-1{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$$0<a<1$ より $\mathrm{\mid }2a-1\mathrm{\mid }<1$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$