九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
曲線 $C:y=x^2$ の点 $P(t,t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。したがって接線 $l$ は $y-t^2=2t(x-t)$ すなわち $y=2tx-t^2$ である。$y=0$ とおくと $0=2tx-t^2$ であり，$t>0$ より $$x={\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。よって $Q$ の $x$ 座標は $t\mathrm{/}2$ である。

法線 $m$ は接線に垂直であるから傾きは $-1\mathrm{/}(2t)$ であり，$$y-t^2=-{\displaystyle \frac{1}{2t}}(x-t)$$ である。$x$ 軸との交点 $R_1$ は $y=0$ を代入して $$-t^2=-{\displaystyle \frac{x-t}{2t}}$$ より $$x-t=2t^3,x=t+2t^3$$ である。したがって $R_1$ の $x$ 座標は $t+2t^3$ である。

(2)
法線 $m$ の $y$ 軸との交点 $R_2$ は，$x=0$ を代入して $y-t^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$ より $$R_2=(0,t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。線分 $P{R}_2$ の方程式は，傾きが法線と同じ $-1\mathrm{/}(2t)$ なので $$y=t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2t}}$$ である。$0\leqq x\leqq t$ ではこの直線と放物線 $y=x^2$ によって囲まれる部分を考えればよい。差は $t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2t}}-x^2$ であり，端点 $x=t$ で0，$0\leqq x<t$ では正である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_0^t(t^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2t}}-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[t^{2}x+{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4t}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^t={\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3+{\displaystyle \frac{1}{4}}t\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $Q$ と $R_1$ はどちらも $x$ 軸上にあり，$$Q{R}_1=t+2t^3-{\displaystyle \frac{t}{2}}={\displaystyle \frac{t}{2}}+2t^3$$ である。点 $P$ から $x$ 軸までの高さは $t^2$ だから $$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{t}{2}}+2t^3)t^2=t^5+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^3$$ である。よって $S_1>S_2$ は $$t^5+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^3>{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3+{\displaystyle \frac{1}{4}}t$$ と同値である。$t>0$ より両辺を $t$ で割り，さらに12倍すると $12t^4-5t^2-3>0$ となる。これは $(4t^2-3)(3t^2+1)>0$ である。$3t^2+1>0$ だから $4t^2-3>0$ すなわち，$t>0$ より $$t>{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。