九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
曲線 $C$ 上の点を $(x,a{x}^2)(x\geqq 0)$ とおく。点 $A(0,a+{\displaystyle \frac{1}{2a}})$ との距離の2乗を $D^2$ とすると、$$D^2=x^2+{(a{x}^2-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2$$ である。ここで $u=x^2\geqq 0$ とおくと、$$D^2=u+{(au-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2$$ である。この右辺を $F(u)$ とすると $$F^{\mathrm{\prime }}(u)=1+2a(au-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}})=2a^2(u-1)$$ である。$a>0$ だから、$F(u)$ は $0\leqq u<1$ で減少し、$u>1$ で増加する。したがって最小となるのは $u=1$ のときである。$x\geqq 0$ より $x=1$ であり、$P=(1,a)$ となる。

このとき $$A{P}^2=1^2+{(a-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2=1+{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}$$ である。したがって $$AP=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}}$$ である。

(2)
直線 $AP$ の傾きは $${\displaystyle \frac{a-(a+{\displaystyle \frac{1}{2a}})}{1-0}}=-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ である。よって直線 $AP$ の式は $$y=a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}$$ である。$0\leqq x\leqq 1$ において、この直線と放物線の差は $a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}-a{x}^2$ であり、端点 $x=1$ では $0$、その間では正である。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^1(a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}-a{x}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{1}{4a}}-{\displaystyle \frac{a}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $$S(a)={\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4a}}(a>0)$$ である。相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\geqq 2\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4a}}}=2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$である。等号が成り立つのは $${\displaystyle \frac{2a}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4a}}$$ すなわち $$8a^2=3,a=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{8}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ のときである。したがって、最小値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$ であり、そのとき $$a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。

(1) は最短距離を与える線分が放物線の接線に垂直であることを使い、接点の座標を直接定める。得られた候補が一意の最小点であることは、距離の2乗が $u=x^2$ の狭義凸2次式であることから保証する。(2),(3) は直線と放物線の差の定積分、相加相乗平均の順に処理する。

(1)
$P$ の位置は、最短距離の線分 $AP$ が曲線の接線に垂直になることからも求められる。曲線 $y=a{x}^2$ の $x=s$ における接線の傾きは $2as$ であり、$A$ と $(s,a{s}^2)$ を結ぶ直線の傾きは ${\displaystyle \frac{a{s}^2-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}}{s}}$ である。垂直条件より $$2as\cdot {\displaystyle \frac{a{s}^2-a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}}{s}}=-1$$ となる。整理すると $2a^2{s}^2-2a^2-1=-1$ であり、$s^2=1$ を得る。$s\geqq 0$ より $s=1$ なので、やはり $P=(1,a)$ である。

距離の2乗は $u=x^2$ の2次式で、最高次係数が $a^2>0$ であるから、この停留点は一意の最小点である。したがって$$P=(1,a),AP={\displaystyle \frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}}\mathrm{.}$$(2)
直線 $AP$ は $$y=a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^1(a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{x}{2a}}-a{x}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4a}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
相加相乗平均より$$S(a)\geqq 2\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4a}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\mathrm{.}$$等号条件は $$a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。