九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $p\mathrm{\ne }0$ とする。$y=x^2$ の導関数は $2x$ であるから，点 $(p,p^2)$ における接線の傾きは $2p$ である。したがって法線の傾きは $-1\mathrm{/}(2p)$ で，方程式は $$y-p^2=-{\displaystyle \frac{1}{2p}}(x-p)$$ である。一方，$p=0$ のとき接線は $y=0$ であるから，法線は $x=0$ である。

(2)

まず $p=0$ の法線 $x=0$ は，$a$ の値によらず点 $(0,a)$ を通る。

次に $p\mathrm{\ne }0$ の法線を考える。この直線が $(0,a)$ を通る条件は $$a-p^2=-{\displaystyle \frac{1}{2p}}(0-p)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ すなわち $a=p^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $a>1\mathrm{/}2$ のときは $$p=\pm \sqrt{a-1\mathrm{/}2}$$ の2つがあり，これらの法線は傾きが異なるので互いに別の直線である。$a\leqq 1\mathrm{/}2$ のときは $p\mathrm{\ne }0$ の解はない。

以上より，本数は$$\{\begin{array}{ll}3& (a>1\mathrm{/}2),\\ 1& (a\leqq 1\mathrm{/}2)\end{array}$$である。

$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の例。頂点の法線1本と，左右対称な2本の法線が通る。