九大 2006年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) はまず $a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}$ を計算し，3で割った余りの帰納法に入る。 $a_{n}$ が3の倍数で $b_{n}$ が3の倍数でないなら，次も $a_{n + 1}$ は3の倍数， $b_{n + 1}$ は $b_{n}^{2}$ と同じ余りになる。(2)は $b_{n}$ が常に奇数であることを先に示し，共通素因数が2でないようにしてから， $a_{n + 1} = 2 a_{n} b_{n}$ と $b_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ で矛盾を作る。

解答

(1)
初めの値を計算すると $a_{2} = 2 a_{1} b_{1} = 2, b_{2} = 2 a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 3$ である。さらに $a_{3} = 2 a_{2} b_{2} = 12, b_{3} = 2 a_{2}^{2} + b_{2}^{2} = 8 + 9 = 17$ である。したがって $a_{3}$ は3で割り切れ， $b_{3}$ は3で割り切れない。 $n ≧ 3$ において， $a_{n}$ は3で割り切れ， $b_{n}$ は3で割り切れないと仮定する。このとき $a_{n + 1} = 2 a_{n} b_{n}$ であるから， $a_{n + 1}$ は3で割り切れる。また $b_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ であり， $a_{n}$ は3で割り切れるので $b_{n + 1} \equiv b_{n}^{2} (m o d 3)$ である。 $b_{n}$ は3で割り切れないから，3で割った余りは1または2であり， $b_{n}^{2}$ の余りは1である。したがって $b_{n + 1}$ は3で割り切れない。よって数学的帰納法により， $n ≧ 3$ で主張が成り立つ。

(2)
まず $b_{n}$ はすべて奇数であることを示す。 $b_{1} = 1$ は奇数であり， $b_{n}$ が奇数なら $b_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ の第1項は偶数，第2項は奇数なので， $b_{n + 1}$ も奇数である。したがってすべての $n$ で $b_{n}$ は奇数である。 $a_{2} = 2$ ， $b_{2} = 3$ は互いに素である。ある $n ≧ 2$ で $a_{n}$ と $b_{n}$ が互いに素であると仮定し， $a_{n + 1}$ と $b_{n + 1}$ が共通の素因数 $q$ を持つとする。 $b_{n + 1}$ は奇数なので， $q \neq 2$ である。 $q$ は $a_{n + 1} = 2 a_{n} b_{n}$ を割り， $q \neq 2$ だから， $q$ は $a_{n}$ または $b_{n}$ を割る。もし $q ∣ a_{n}$ なら， $q ∣ b_{n + 1}$ と $b_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ より $q ∣ b_{n}^{2}$ ，したがって $q ∣ b_{n}$ となる。これは $a_{n}, b_{n}$ が互いに素であることに反する。もし $q ∣ b_{n}$ なら，同じ式から $q ∣ 2 a_{n}^{2}$ であり， $q \neq 2$ なので $q ∣ a_{n}$ となって，やはり矛盾する。

したがって $a_{n + 1}$ と $b_{n + 1}$ も互いに素である。数学的帰納法により， $n ≧ 2$ で $a_{n}$ と $b_{n}$ は互いに素である。

総評

合同式と最大公約数の帰納法を組み合わせる問題である。目安は20分程度。(1)では $b_{n}^{2}$ の3で割った余りが0でないことを明確に書く。(2)では共通素因数が2でないことを $b_{n}$ の奇偶から先に押さえると， $a_{n}$ または $b_{n}$ を割るという議論が破綻しない。

出典: 九州大学 2006年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

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九州大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問