九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

倍角公式を2回用いると $$\sin 4=2\sin 2\cos 2=2(2\sin 1\cos 1)\cos 2=4\sin 1\cos 1\cos 2$$ である。$\sin 1\mathrm{\ne }0$ だから両辺を $4\sin 1$ で割って $$a_1=\cos 2\cos 1={\displaystyle \frac{\sin 4}{4\sin 1}}$$ を得る。

(2) $$\sin 2^{k+1}=2\sin 2^k\cos 2^k$$ を $k=0,1,\dots ,n$ について順に用いると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin 2^{n+1}}& {\displaystyle =2\sin 2^n\cos 2^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^2\sin 2^{n-1}\cos 2^{n-1}\cos 2^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cdots =2^{n+1}\sin 1(\cos 1)(\cos 2)\cdots (\cos 2^n)}\end{array}$$となる。したがって $$a_n=(\cos 2^n)\cdots (\cos 2)(\cos 1)={\displaystyle \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1}\sin 1}}$$ である。

(3)

任意の実数 $t$ について $\sin t\leqq 1$ であり，また $0<\pi \mathrm{/}4<1<\pi \mathrm{/}2$ なので $$\sin 1>\sin (\pi \mathrm{/}4)=\sqrt{2}\mathrm{/}2$$ である。(2)より$$a_n={\displaystyle \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1}\sin 1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}\sin 1}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}}$$となり，示すべき不等式が従う。$\sin 2^{n+1}<0$ の場合も，上からの評価なのでそのまま成り立つ。

$a_{n+1}=a_n\cos 2^{n+1}$ という積の漸化式を使い，(1)を初期値として(2)を数学的帰納法で証明する。(3)は主解法と同じく，分子の正弦を1以下，分母の $\sin 1$ を $\sqrt{2}\mathrm{/}2$ より大きいと評価する。

(1) 倍角公式を2回使うと$$\sin 4=2\sin 2\cos 2=4\sin 1\cos 1\cos 2$$である。よって$$a_1=\cos 1\cos 2={\displaystyle \frac{\sin 4}{4\sin 1}}$$となる。

(2) (1)が $n=1$ の場合に当たる。ある自然数 $n$ について$$a_n={\displaystyle \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1}\sin 1}}$$が成り立つと仮定する。定義から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =a_n\cos 2^{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sin 2^{n+1}\cos 2^{n+1}}{2^{n+1}\sin 1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sin 2^{n+2}}{2^{n+2}\sin 1}}}\end{array}$$である。したがって数学的帰納法により，全ての自然数 $n$ で所要の式が成り立つ。

(3) $0<\pi \mathrm{/}4<1<\pi \mathrm{/}2$ より$$\sin 1>\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$である。また $\sin 2^{n+1}\leqq 1$ なので，(2)から$$a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}\sin 1}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}}$$を得る。分子が負の場合にも，この上からの評価はそのまま成り立つ。