九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
連立方程式は$$\{\begin{array}{l}(15-\lambda )x+6y=0,\\ 6x+(10-\lambda )y=0\end{array}$$である。$(x,y)=(0,0)$ 以外の解を持つためには，2式の係数が作る行列について $$(15-\lambda )(10-\lambda )-36=0$$ であればよい。整理すると $${\lambda }^2-25\lambda +114=0$$ であり，$$(\lambda -19)(\lambda -6)=0$$ である。よって $\lambda =19,6$ である。

(2) $19$ に対応する列を求める。$\lambda =19$ のとき $-4x+6y=0$ より，例えば$$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$を取れる。$\lambda =6$ のとき $9x+6y=0$ より，例えば$$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$$を取れる。したがって$$T=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$$とおけば$$AT=T\left(\begin{array}{cc}19& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$$である。また $T$ の行列式は $3\cdot 3-(-2)\cdot 2=13$ だから逆行列をもち，$$T^{-1}={\displaystyle \frac{1}{13}}\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 3\end{array}\right)$$である。

(3)
(2)より$$A=T\left(\begin{array}{cc}19& 0\\ 0& 6\end{array}\right)T^{-1}$$であるから$$A^n=T\left(\begin{array}{cc}{19}^n& 0\\ 0& 6^n\end{array}\right)T^{-1}$$である。計算すると$$A^n={\displaystyle \frac{1}{13}}\left(\begin{array}{cc}9\cdot {19}^n+4\cdot 6^n& 6\cdot {19}^n-6\cdot 6^n\\ 6\cdot {19}^n-6\cdot 6^n& 4\cdot {19}^n+9\cdot 6^n\end{array}\right)$$である。

(4)
任意の列ベクトルは$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$$と一意に表せる。実際，$$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=T^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{13}}\left(\begin{array}{c}3x+2y\\ -2x+3y\end{array}\right)$$である。

このとき$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=u{19}^{n-1}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+v{6}^{n-1}\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$$である。$u\mathrm{\ne }0$ の場合，分子分母を ${19}^{n-1}$ で割ると$${\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}={\displaystyle \frac{2u+3v{\left({\displaystyle \frac{6}{19}}\right)}^{n-1}}{3u-2v{\left({\displaystyle \frac{6}{19}}\right)}^{n-1}}}\to {\displaystyle \frac{2u}{3u}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。$u=0$ の場合，初期ベクトルは $(-2,3)$ の方向であり，すべての $n$ で$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=v{6}^{n-1}\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$$となる。したがって $${\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。$u=0$ は $3x+2y=0$ と同値であるから，求める極限は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{3}}& (3x+2y\mathrm{\ne }0),\\ -{\displaystyle \frac{3}{2}}& (3x+2y=0)\end{array}$$である。問題文の仮定 $x_n\mathrm{\ne }0$ は，この場合分けのどちらにも矛盾しない。