九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
与えられた式 $t(PJ+J)+P-E=O$ を整理すると $P+tPJ=E-tJ$ である。すなわち $P(E+tJ)=E-tJ$ である。

ここで$$J^2={\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)}^2=-E$$であるから、$$(E+tJ)(E-tJ)=E-t^2{J}^2=(1+t^2)E$$ である。したがって $$(E+tJ{)}^{-1}={\displaystyle \frac{E-tJ}{1+t^2}}$$ であり、$$P=(E-tJ)(E+tJ{)}^{-1}={\displaystyle \frac{(E-tJ{)}^2}{1+t^2}}$$ となる。さらに $$(E-tJ{)}^2=E-2tJ+t^2{J}^2=(1-t^2)E-2tJ$$ なので、$$P={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}E-{\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}J$$ である。行列で書けば$$P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}& -{\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}\\ {\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}& {\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\end{array}\right)$$である。

(2) $$t=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ とする。半角公式より $${\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}=\cos \theta ,{\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}=\sin \theta$$ である。したがって (1) の結果から $$P=\cos \theta E-\sin \theta J$$ であり、行列表示は$$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$である。

(3)
(2) の形の行列を$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$と書く。加法定理を用いて行列の積を計算すると $$R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$$ である。したがって $$P^3=R(\theta {)}^3=R(3\theta )$$ である。 $P^3=E$ となるには $R(3\theta )=E$ であればよい。これは $$\cos 3\theta =1,\sin 3\theta =0$$ すなわち $$3\theta =2m\pi (m\text{ は整数})$$ を意味する。条件 $0<\theta <\pi$ より $0<3\theta <3\pi$ であるから、この範囲にある $2m\pi$ は $2\pi$ だけである。よって $3\theta =2\pi$ となり、$$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。