九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$\vec{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$とおく。条件 $\vec{p}=A\vec{p}+\vec{b}$ は$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$である。成分で書くと$$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{x+y}{2}},\\ y={\displaystyle \frac{y}{2}}+1\end{array}$$である。第2式より $y=2$、これを第1式に代入して $$x={\displaystyle \frac{x+2}{2}}$$ となるから $x=2$ である。したがって$$\vec{p}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$$である。

(2) $${\vec{q}}_n={\vec{p}}_n-\vec{p}$$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\vec{q}}_{n+1}}& {\displaystyle ={\vec{p}}_{n+1}-\vec{p}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(A{\vec{p}}_n+\vec{b})-(A\vec{p}+\vec{b})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A({\vec{p}}_n-\vec{p})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A{\vec{q}}_n}\end{array}$$である。したがって ${\vec{q}}_{n+1}=A{\vec{q}}_n$ が成り立つ。

(3) $$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。まず $n=1$ では$$A={\displaystyle \frac{1}{2^1}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$なので成り立つ。ある $n$ で$$A^n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$$が成り立つと仮定すると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^{n+1}}& {\displaystyle =A^{n}A}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}\left(\begin{array}{cc}1& n+1\\ 0& 1\end{array}\right)}\end{array}$$である。よって数学的帰納法により$$A^n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

(4)
(1) より$$\vec{p}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$$であり、$${\vec{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$ だから$${\vec{q}}_1={\vec{p}}_1-\vec{p}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right)$$である。(2) より $${\vec{q}}_n=A^{n-1}{\vec{q}}_1$$ なので、(3) を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\vec{q}}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}\left(\begin{array}{cc}1& n-1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}\left(\begin{array}{c}-(2n-1)\\ -2\end{array}\right)}\end{array}$$である。したがって$${\vec{p}}_n=\vec{p}+{\vec{q}}_n=\left(\begin{array}{c}2-{\displaystyle \frac{2n-1}{2^{n-1}}}\\ 2-{\displaystyle \frac{2}{2^{n-1}}}\end{array}\right)$$である。

(1) で固定点を求め、(2),(3) の関係を確認する。(4) では列ベクトルの2成分を $x_n,y_n$ と置き、まず $y_n$、次に $x_n$ の非同次漸化式を順に解く。

(1)
成分を比較すると固定点は$$\vec{p}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$$である。

(2)
$\vec{p}=A\vec{p}+\vec{b}$ を漸化式から引いて$${\vec{q}}_{n+1}=A{\vec{q}}_n\mathrm{.}$$(3)
数学的帰納法により$$A^n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(4)
(4) は成分の漸化式からも求められる。$${\vec{p}}_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$$ とすると $$y_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{y}_n+1,y_1=0$$ であるから $$y_n=2-{\displaystyle \frac{2}{2^{n-1}}}$$ である。また $$x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{y}_n,x_1=1$$ にこの $y_n$ を代入して整理すると、同じく $$x_n=2-{\displaystyle \frac{2n-1}{2^{n-1}}}$$ を得る。固定点を引く主解の方が、2成分を同時に処理できて短い。