九州大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $P=AP$ は $P=(E+aB)P$ すなわち $aBP=0$ と同値である。$a=0$ のときは $A=E$ なので任意の $x,y$ が条件を満たす。 $a\mathrm{\ne }0$ のときは $BP=0$ である。成分で書くと$$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-2y\\ -2x+4y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$だから $x=2y$ である。

(2)

(1) より，$a\mathrm{\ne }0$ のとき直線 $x=2y$ 上の点は $A$ によって動かない。また$$B\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -10\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$$であるから，直線 $x=2y$ に垂直な方向 $(1,-2)$ は $A=E+aB$ により $1+5a$ 倍される。

原点を通る直線に関する対称移動では，その直線上の成分はそのまま，垂直方向の成分は符号が反対になる。したがって $1+5a=-1$ でなければならない。よって $a=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ であり，対称軸は $x=2y$ である。

(3)

まず$$B^2={\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& -10\\ -10& 20\end{array}\right)=5B$$である。$A^n=E+u_{n}B$ とおくと，$u_1=a$ であり，$$A^{n+1}=(E+u_{n}B)(E+aB)=E+(a+u_n+5a{u}_n)B$$ だから $u_{n+1}=a+u_n+5a{u}_n$ である。この式は $$1+5u_{n+1}=(1+5a)(1+5u_n)$$ と変形できる。$1+5u_1=1+5a$ より $1+5u_n=(1+5a{)}^n$ となるので $$u_n={\displaystyle \frac{(1+5a{)}^n-1}{5}}$$ である。

青い直線上は固定され，垂直方向の成分だけが符号反転する。

$B$ をベクトル $(1,-2{)}^T$ への正射影の5倍と見る。互いに直交する2方向への射影行列で $A$ を分解すると，固定点・鏡映条件・累乗が同時に読み取れる。

(1) $\vec{v}=(1,-2{)}^T$ とすると$$B=\vec{v}{\vec{v}}^T$$である。したがって$$H={\displaystyle \frac{1}{5}}B$$は $\vec{v}$ 方向への正射影を表し，$K=E-H$ はそれに垂直な直線 $x=2y$ への正射影を表す。よって$$A=E+aB=K+(1+5a)H\mathrm{.}$$$a=0$ なら $A=E$ なので全ての $x,y$ が $P=AP$ を満たす。$a\mathrm{\ne }0$ なら固定されるのは $HP=0$，すなわち$${\vec{v}}^{T}P=x-2y=0$$を満たす点だけである。

(2) $K$ 方向は常に1倍され，$H$ 方向は $1+5a$ 倍される。直線 $x=2y$ に関する対称移動となるための条件は$$1+5a=-1.$$したがって$$a=-{\displaystyle \frac{2}{5}},\text{対称軸は }x=2y$$である。

(3) $H^2=H$，$K^2=K$，$HK=KH=O$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^n}& {\displaystyle =\{K+(1+5a)H{\}}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =K+(1+5a{)}^{n}H}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E+{\displaystyle \frac{(1+5a{)}^n-1}{5}}B\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$u_n={\displaystyle \frac{(1+5a{)}^n-1}{5}}$$である。