九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

まず$$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2+p\\ -1& -2-p\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1-p& -1-p\end{array}\right)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_2}& {\displaystyle =AB-BA+C}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}1& 1+p\\ -1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$さらに$$A_{2}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1+(1+p{)}^2\\ -1& -2-p\end{array}\right),B{A}_2=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ -1-p& -1-p\end{array}\right)$$より$$A_3=\left(\begin{array}{cc}1& 1+p+p^2\\ -1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$S_n=1+p+p^2+\cdots +p^{n-1}$$とおき$$A_n=\left(\begin{array}{cc}1& S_n\\ -1& -1\end{array}\right)$$を帰納法で示す。$n=1$ では $S_1=1$ なので成立する。

$n$ で成立すると仮定する。このとき$$A_{n}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1+(1+p)S_n\\ -1& -2-p\end{array}\right),B{A}_n=\left(\begin{array}{cc}0& S_n-1\\ -1-p& -(1+p)\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_{n+1}}& {\displaystyle =A_{n}B-B{A}_n+C}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}1& 1+p{S}_n\\ -1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$しかも$$1+p{S}_n=1+p+p^2+\cdots +p^n=S_{n+1}$$だから、帰納法により主張がすべての $n$ で成り立つ。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_n}& {\displaystyle =1\cdot (-1)-S_n(-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p+p^2+\cdots +p^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<p<1$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{\Delta }}_n={\displaystyle \frac{p}{1-p}}\mathrm{.}$$

左上・左下・右下の3成分は保存され、右上成分だけが一次漸化式に従う。

行列全体の形を先に予想せず、4成分の漸化式を直接作る。左上・左下・右下の3成分が初期値から変化しないことを帰納的に確認し、右上成分だけの一次漸化式を解く。

(1)

定義へ $A_1=A$ を代入すると$$A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1+p\\ -1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$同様に $A_2$ を代入して$$A_3=\left(\begin{array}{cc}1& 1+p+p^2\\ -1& -1\end{array}\right)$$を得る。

(2) $$A_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$$として $A_{n}B-B{A}_n+C$ の各成分を比較すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =-c_n,}\\ {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =a_n+p{b}_n-d_n-1,}\\ {\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =-p{c}_n-(1+p),}\\ {\displaystyle d_{n+1}}& {\displaystyle =c_n}\end{array}$$となる。初期値 $(a_1,c_1,d_1)=(1,-1,-1)$ を入れると、右辺から$$(a_{n+1},c_{n+1},d_{n+1})=(1,-1,-1)$$が保たれる。したがってすべての $n$ で$$a_n=1,c_n=-1,d_n=-1.$$このとき右上成分は$$b_{n+1}=1+p{b}_n,b_1=1$$を満たすので$$b_n=1+p+\cdots +p^{n-1}\mathrm{.}$$ゆえに$${\mathrm{\Delta }}_n=a_n{d}_n-b_n{c}_n=b_n-1=p+p^2+\cdots +p^{n-1}\mathrm{.}$$$0<p<1$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{\Delta }}_n={\displaystyle \frac{p}{1-p}}\mathrm{.}$$