九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

辺の長さが実数かつ正であるためには $$x^2-2x\geqq 0,4-x>0$$ が必要である。すなわち $$x\leqq 0\text{ または }x\geqq 2,x<4$$ である。

さらに，長さ $\sqrt{x^2-2x}$ の辺が他の2辺より短くないので，特に $\sqrt{x^2-2x}\geqq 2$ である。これより $x^2-2x\geqq 4$ すなわち $x\leqq 1-\sqrt{5}\text{または}x\geqq 1+\sqrt{5}$ である。また $\sqrt{x^2-2x}\geqq 4-x$ も必要である。両辺は正なので2乗して $x^2-2x\geqq (4-x{)}^2$ すなわち $x\geqq {\displaystyle \frac{8}{3}}$ を得る。以上より，実際に残るのは $x\geqq 1+\sqrt{5}$ である。

この範囲では $\sqrt{x^2-2x}$ が最長辺である。三角形が描けるためには，最長辺が他の2辺の和より小さいこと，すなわち $$\sqrt{x^2-2x}<2+(4-x)=6-x$$ が必要十分である。ここで $x<4$ なので右辺は正であり，2乗して $x^2-2x<(6-x{)}^2$ となる。整理すると $-2x<36-12x$ より $$x<{\displaystyle \frac{18}{5}}$$ である。したがって求める範囲は $${\displaystyle 1+\sqrt{5}\leqq x<{\displaystyle \frac{18}{5}}}$$ である。

(2)

(1) の範囲では $$4-x<2\leqq \sqrt{x^2-2x}$$ であるから，最短の辺は $4-x$ である。したがって $\theta$ は，長さ $4-x$ の辺と向かい合う角である。

余弦定理より $$(4-x{)}^2=(x^2-2x)+2^2-2\cdot 2\sqrt{x^2-2x}\cos \theta$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \theta }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x^2-2x+4-(4-x{)}^2}{4\sqrt{x^2-2x}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6x-12}{4\sqrt{x^2-2x}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3(x-2)}{2\sqrt{x(x-2)}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{x-2}{x}}}}}\end{array}$$である。

(3)

(1) の範囲では $x>0$ である。そこで $${\displaystyle \frac{x-2}{x}}=1-{\displaystyle \frac{2}{x}}$$ を見ると，これは $x>0$ で単調に増加する。平方根も正の範囲で単調に増加するから，$\cos \theta$ は $$1+\sqrt{5}\leqq x<{\displaystyle \frac{18}{5}}$$ で単調に増加する。

したがって最小値は左端 $x=1+\sqrt{5}$ でとる。このとき$${\displaystyle \frac{x-2}{x}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$であるから $${\displaystyle \min \cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}}}$$ である。最小値を与える値は $${\displaystyle x=1+\sqrt{5}}$$ である。

範囲内では $$4-x<2\leqq \sqrt{x^2-2x}$$。したがって $\theta$ は最短辺 $4-x$ の対角である。