九州大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$d=\sqrt{a^2+b^2}$$ とおく。双曲線は $${\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}=1$$ であるから，交点では $$x^2=a^2({\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-1)$$ である。これを円 $x^2+(y-d{)}^2=c^2$ に代入すると $$a^2({\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-1)+(y-d{)}^2=c^2$$ すなわち $${\displaystyle \frac{d^2}{b^2}}{y}^2-2dy+b^2-c^2=0$$ となる。これを解くと $$y={\displaystyle \frac{b(b+c)}{d}},y={\displaystyle \frac{b(b-c)}{d}}$$ である。

双曲線上の点が存在するには $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq b$ が必要で，等号のときは $x=0$ の1点になる。上側の候補 $b(b+c)\mathrm{/}d$ が $b$ に等しくなるのは $c=d-b$ のときであり，下側の候補 $b(b-c)\mathrm{/}d$ が $-b$ に等しくなるのは $c=d+b$ のときである。したがって接するときの $c$ は $$c=\sqrt{a^2+b^2}-b,c=\sqrt{a^2+b^2}+b$$ である。

(2)

(1) の判定をそのまま用いる。$0<c<d-b$ では2つの候補のいずれも $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq b$ を満たさないので共有点はない。$c=d-b$ では上側頂点で1点だけ共有する。$d-b<c<d+b$ では上側の候補だけが $y>b$ となり，左右対称な2点を共有する。$c=d+b$ では上側の2点に加えて下側頂点で接するため3点である。$c>d+b$ では上下それぞれで左右対称な2点を持つので4点である。

よって，$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$ として$$\begin{array}{cl}\text{共有点数}& \text{条件}\\ 0& 0<c<d-b\\ 1& c=d-b\\ 2& d-b<c<d+b\\ 3& c=d+b\\ 4& c>d+b\end{array}$$である。

(3)

共有点が2個である条件は $$d-b<{\displaystyle \frac{b}{2}}+1<d+b$$ である。

左側の不等式は $$d<{\displaystyle \frac{3b}{2}}+1$$ であり，右辺は正なので平方してよい。よって $$a^2+b^2<{({\displaystyle \frac{3b}{2}}+1)}^2$$ すなわち $a^2<{\displaystyle \frac{5}{4}}{b}^2+3b+1$ である。

右側の不等式は $$1-{\displaystyle \frac{b}{2}}<d$$ である。$b\geqq 2$ なら左辺は0以下なので自動的に成り立つ。$0<b<2$ のときは両辺が正なので平方して $${(1-{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2<a^2+b^2$$ すなわち $a^2>1-b-{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2$ を得る。

したがって図示すべき範囲は，$a>0,b>0$ のもとで $a^2<{\displaystyle \frac{5}{4}}{b}^2+3b+1$ を満たし，さらに $0<b<2$ では $a^2>1-b-{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2$ を満たす部分である。実際の図では，上側境界 $$a=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{4}}{b}^2+3b+1}$$ の下側を取り，$0<b<2\mathrm{/}3$ に現れる下側境界 $$a=\sqrt{1-b-{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2}$$ の下側を除く。境界上は共有点数が1個または3個になるため含まない。

左：交点候補は上下の枝に現れる。右：$$c={\displaystyle \frac{b}{2}}+1$$ のときの $(b,a)$ 領域（境界は除く）。