九州大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $BC$ は $x$ 軸上の線分なので，$BC\perp AH$ より $H$ は $y$ 軸上にある。そこで $H=(0,h)$ とおく。さらに $BA\perp CH$ であるから，傾きの積を用いて $${\displaystyle \frac{a}{0-b}}\cdot {\displaystyle \frac{h}{0-c}}=-1$$ すなわち $$(-{\displaystyle \frac{a}{b}})(-{\displaystyle \frac{h}{c}})=-1$$ である。よって $$h=-{\displaystyle \frac{bc}{a}}$$ となり，$$H=(0,-{\displaystyle \frac{bc}{a}})$$ である。実際，この値に対して $CA\perp BH$ も成り立つ。

(2)

各中点は$$P=({\displaystyle \frac{b+c}{2}},0),Q=({\displaystyle \frac{b}{2}},-{\displaystyle \frac{bc}{2a}}),M=(0,{\displaystyle \frac{a^2-bc}{2a}})$$である。したがって$$\overrightarrow{QP}=({\displaystyle \frac{c}{2}},{\displaystyle \frac{bc}{2a}}),\overrightarrow{QM}=(-{\displaystyle \frac{b}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}})$$となる。内積を計算すると$$\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QM}={\displaystyle \frac{c}{2}}(-{\displaystyle \frac{b}{2}})+{\displaystyle \frac{bc}{2a}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{2}}=-{\displaystyle \frac{bc}{4}}+{\displaystyle \frac{bc}{4}}=0$$であるから，$\mathrm{\angle }PQM={90}^{\circ }$ である。

(3)

(2) より $\mathrm{△}PQM$ は $Q$ を直角とする直角三角形である。したがって $P,Q,M$ を通る円の中心は斜辺 $PM$ の中点である。よって $$N={\displaystyle \frac{P+M}{2}}=({\displaystyle \frac{b+c}{4}},{\displaystyle \frac{a^2-bc}{4a}})$$ である。

(4)

円は $PM$ を直径とする円であるから，点 $X$ がこの円上にあることは $(X-P)\cdot (X-M)=0$ と同値である。

まず原点 $O=(0,0)$ については，$P$ の $y$ 座標が0，$M$ の $x$ 座標が0なので $$(O-P)\cdot (O-M)=P\cdot M=0$$ であり，原点は円上にある。

次に $R$ は $AB$ の中点だから $$R=({\displaystyle \frac{b}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}})$$ である。よって$$R-P=(-{\displaystyle \frac{c}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}}),R-M=({\displaystyle \frac{b}{2}},{\displaystyle \frac{bc}{2a}})$$となり，$$(R-P)\cdot (R-M)=-{\displaystyle \frac{bc}{4}}+{\displaystyle \frac{bc}{4}}=0$$ である。したがって $R$ も同じ円上にある。

$\mathrm{\angle }PQM={90}^{\circ }$ なので，円の直径は $PM$。