九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

円 $Q$ の中心を $O$，円 $R$ の中心を $S$ とする。2円は外接し，半径がそれぞれ2と3なので $OS=2+3=5$ である。点 $O$ から円 $R$ に引いた接線の接点を $T$ とすると，$ST\perp OT$ であり，$ST=3$ である。

2本の接線は $OS$ に関して対称なので，$\mathrm{\angle }TOS=\theta \mathrm{/}2$ である。直角三角形 $OST$ より $$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{ST}{OS}}={\displaystyle \frac{3}{5}},\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$$ である。したがって$$\sin \theta =2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=2\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$$である。

(2)

(1) より$$\cos \theta ={\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}-{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}={\displaystyle \frac{16}{25}}-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{7}{25}}>0$$である。$0<\theta <\pi$ だから $$\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

また $$\cos \theta =7\mathrm{/}25<1\mathrm{/}2=\cos (\pi \mathrm{/}3)$$ であり，余弦は $(0,\pi )$ で減少するので $$\theta >{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。よって $${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ が示された。

(3)

配置された半径3の円の中心は，すべて $Q$ の中心 $O$ から距離5の円周上にある。隣り合う2つの半径3の円が交わらないためには，それらの中心間距離が少なくとも6でなければならない。

中心角を $\phi$ とすると，中心間距離は $2\cdot 5\sin (\phi \mathrm{/}2)$ である。したがって $10\sin {\displaystyle \frac{\phi }{2}}\geqq 6$ すなわち $$\sin {\displaystyle \frac{\phi }{2}}\geqq {\displaystyle \frac{3}{5}}$$ である。$0<\phi \leqq \pi$ では正弦が増加する範囲で考えればよいので，隣り合う中心角は少なくとも $\theta$ である。

ここで $\cos \theta ={\displaystyle \frac{7}{25}}$ であり，$$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}>{\displaystyle \frac{7}{25}}$$ である。余弦は $(0,\pi )$ で減少するから $$\theta >{\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$$ である。もし5個配置できるなら，中心角の合計が $2\pi$ である一周の中に，少なくとも $5\theta >2\pi$ が必要となり矛盾する。したがって5個以上は配置できない。

一方，4個なら中心を $O$ のまわりに90度ずつ離して置けばよい。このとき隣り合う中心角は $\pi \mathrm{/}2$ であり，(2)より $\theta <\pi \mathrm{/}2$ だから中心間距離は6より大きく，円どうしは交わらない。よって最大個数は $4$ である。

半径3の円を4個置く実現例。各中心は $O$ から距離5にある。