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九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

三角形ABCにおいて，辺ABの長さをx，辺BCの長さをy，辺ACの長さをzとする．
このとき以下の問いに答えよ．

(1) y=4，z=4とする．
xが4から7までの値をとるとき，
三角形ABCの面積の最大値と最小値を求めよ．

(2) x，y，zがいずれも4から7までの値をとるとき，
三角形ABCの面積の最大値と最小値を求めよ．

難易度6/ 10計算量7/ 10目安30分

図形と方程式、三角関数　面積計算、微分による最大最小、範囲評価

方針

(1) は二等辺三角形として，底辺を x，等辺を4とした高さを求め，面積の二乗を x2 の二次式として最大最小を調べる。(2)はヘロンの公式の二乗形
16S2=2x2y2+2y2z2+2z2x2−x4−y4−z4 を用いる。最小は，各変数について固定したとき面積二乗が端点で小さくなることから頂点 4,7 の組だけを調べる。最大は X=x2,Y=y2,Z=z2≦49 と置き，(7,7,7) の値との差が非負になることを示す。

解答

(1) y=z=4 なので，底辺を x とする二等辺三角形である。底辺の中点から頂点へ下ろした高さを h とすると h2=42−(x2)2=16−x24 である。したがって面積 S は S(x)=12xh=x464−x2 である。

面積は正なので，S(x)2 を調べればよい。 S(x)2=x2(64−x2)16 である。X=x2 とおくと，4≦x≦7 より 16≦X≦49 であり，S2=X(64−X)16 である。この二次式は X=32 で最大となるので，最大は x=32=42 のときで，Smax⁡2=32⋅3216=64 より Smax⁡=8 である。

最小は区間の端点で比較すればよい。 S(4)=43,S(7)=7464−49=7154 であり，(43)2=48,(7154)2=73516<48だから Smin⁡=7154 である。

(2)

ヘロンの公式から，三角形の面積 S について 16S2=2x2y2+2y2z2+2z2x2−x4−y4−z4 が成り立つ。

まず最小値を調べる。y,z を固定すると 16S2={(y+z)2−x2}{x2−(y−z)2} である。これは X=x2 について下に開く二次式である。したがって 4≦x≦7 での最小値は端点 x=4 または x=7 で起こる。同じ議論を y,z にも行えるので，最小値は (x,y,z)=(4,4,4),(4,4,7),(4,7,7),(7,7,7) の型を調べればよい。

それぞれの面積は43,7154,7152,4934である。よって最小値は 7154 であり，これは3辺が 4,4,7 のときに得られる。

次に最大値を調べる。X=x2,Y=y2,Z=z2 とおくと，16≦X,Y,Z≦49 であり，16S2=2XY+2YZ+2ZX−X2−Y2−Z2 である。U=49−X,V=49−Y,W=49−Z とおくと，0≦U,V,W≦33 である。3辺がすべて7のときの 16S2 は 3⋅492 である。差を計算すると3⋅492−(2XY+2YZ+2ZX−X2−Y2−Z2)=98(U+V+W)+U2+V2+W2−2UV−2VW−2WUである。ここで T=U+V+W とすると，0≦T≦99 であり，U2+V2+W2≧T23 より U2+V2+W2−2UV−2VW−2WU=2(U2+V2+W2)−T2≧−T23 である。したがって上の差は 98T−T23=T(98−T3) 以上である。0≦T≦99 なのでこれは0以上である。よって面積は3辺がすべて7のとき最大である。

したがって最大値は，正三角形の面積より 4934 である。

最小は最も扁平な許容三角形、最大は辺長の上限で作る正三角形で達成される。

総評

難度6，計算量7。(1)は二等辺三角形の高さから面積二乗に直す標準的な最大最小である。(2)は「最大は全部7，最小は4,4,7」と直感で書くだけでは根拠が弱い。ヘロンの公式の二乗形を使い，最小は各変数の端点へ押し込めること，最大は (7,7,7) との差が非負であることを示すと答案として安定する。計算量は多いが，平方根を避けて面積二乗で比較するのがコツである。目安時間は25分から30分。

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出典: 九州大学 2007年度 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。