九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第4問

(1)

もし$Y=-X$であると仮定する．このとき$AX=Y=-X$である．すると $AY=A(-X)=-AX=X$ となるので，条件$AY=Z$より$Z=X$である．さらに$AZ=X$である一方，$Z=X$だから $AZ=AX=Y$ となる．よって$X=Y$が従うが，これは$Y=-X$および$X\mathrm{\ne }0$に反する．したがって $Y\mathrm{\ne }-X$ である．

(2)

問題文より$Y\mathrm{\ne }X$であり，(1)より$Y\mathrm{\ne }-X$である．XとYはいずれも大きさ1の2次元ベクトルである．もしXとYが同じ直線上にあれば，単位ベクトルであることから$Y=X$または$Y=-X$しかない．しかしどちらも成り立たない．したがってXとYは平行でない．

2次元平面で平行でない2本のベクトルは基底になるので，任意の2次元ベクトルはXとYの一次結合としてただ一通りに表される．特にZについて，実数$s,t$がただ一組存在して $Z=sX+tY$ と表せる．

(3)

(2) により $Z=sX+tY$ とおく．両辺にAを作用させると $AZ=sAX+tAY=sY+tZ$ である．さらに$Z=sX+tY$を代入すると $$AZ=sY+t(sX+tY)=tsX+(s+t^2)Y$$ である．一方，条件より$AZ=X$である．XとYは平行でないので係数比較ができ，$ts=1,s+t^2=0$ を得る．第2式より$s=-t^2$であり，第1式に代入すると $$t(-t^2)=1,-t^3=1,t=-1$$ である．したがって$s=-1$である．よって $Z=-X-Y$ であり，$$X+Y+Z=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$が成り立つ．

(4)

(3) より$Z=-X-Y$である．Zの大きさは1なので $\mathrm{\mid }X+Y{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }Z{\mathrm{\mid }}^2=1$ である．左辺を内積で展開すると $$\mathrm{\mid }X+Y{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^2+2X\cdot Y+\mathrm{\mid }Y{\mathrm{\mid }}^2=1+2X\cdot Y+1$$ である．したがって $$2+2X\cdot Y=1,X\cdot Y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である．

ここで$X=(1,0{)}^T$なので，$Y=(u,v{)}^T$とおくと $X\cdot Y=u=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である．また$\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=1$より $u^2+v^2=1$ だから $v^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ である．よって$$Y=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\text{または}Y=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$$である．

行列Aの第1列は$AX=Y$によりYである．さらにAは$Y$を$Z=-X-Y$に移す．これは，XからYへ，YからZへ，ZからXへ移す120度回転である．具体的に計算すると，$Y=(-1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2{)}^T$のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である．また$Y=(-1\mathrm{/}2,-\sqrt{3}\mathrm{/}2{)}^T$のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である．したがって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である．

3本の単位ベクトルの配置

(3) で得た $X+Y+Z=0$ と $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }=1$ を幾何的に読む．3本のベクトルは互いに120度ずつ離れるので，Aは時計回りまたは反時計回りの120度回転行列である．

(1)

解法1と同様に，$Y=-X$ と仮定すると $Z=X$ となり，さらに $AZ=X$ と $AX=Y$ が矛盾する．よって $Y\mathrm{\ne }-X$ である．

(2)

$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=1$ で $Y\mathrm{\ne }\pm X$ だから，XとYは平行でなく，平面の基底になる．したがってZは $Z=sX+tY$ とただ一通りに表せる．

(3)

両辺へAを作用させ，$AZ=X,AX=Y,AY=Z$ を使って係数比較すると $s=t=-1$ である．よって$$X+Y+Z=0.$$(4)

(3) より$$X+Y+Z=0,\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }=1$$である．したがって$$\mathrm{\mid }X+Y{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }Z{\mathrm{\mid }}^2=1$$であり，$$2+2X\cdot Y=1,X\cdot Y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よってXとYのなす角は ${120}^{\circ }$ である．同じ議論をYとZ，ZとXにも適用できるため，3本は原点の周りに ${120}^{\circ }$ ずつ並ぶ．

$X=(1,0{)}^T$ だから，YはXを反時計回りまたは時計回りに ${120}^{\circ }$ 回転したベクトルである．また $AX=Y,AY=Z,AZ=X$ より，A自身が同じ向きの ${120}^{\circ }$ 回転を表す．したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos {120}^{\circ }& -\sin {120}^{\circ }\\ \sin {120}^{\circ }& \cos {120}^{\circ }\end{array}\right)\text{または}\left(\begin{array}{cc}\cos {120}^{\circ }& \sin {120}^{\circ }\\ -\sin {120}^{\circ }& \cos {120}^{\circ }\end{array}\right)\mathrm{.}$$ゆえに$$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\text{または}\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$