九州大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

与えられた行列を$A$とおく。直接計算すると$$A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\cdot 3+1\cdot 2\\ \frac{4}{9}\cdot 3+\frac{1}{3}\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$である。したがって，初期値が$(3,2)$のときは点は動かず，$P_n=(3,2)$ である。

(2)

同様に$$A\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\cdot 3-2\\ \frac{4}{9}\cdot 3-\frac{2}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$$である。つまり，この方向の成分は1回ごとに$-1\mathrm{/}3$倍される。よって $${\displaystyle Q_n={(-\frac{1}{3})}^n(3,-2)}$$ である。

(3)

初期値$(k,0)$を(1)(2)の二つのベクトルで表すと$$\left(\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}\right)=\frac{k}{6}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\frac{k}{6}\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$$である。第一の成分は何回操作しても変わらず，第二の成分は$n$回後に$(-1\mathrm{/}3{)}^n$倍されるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R_n}& {\displaystyle =\frac{k}{6}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\frac{k}{6}{(-\frac{1}{3})}^n\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{k}{2}}\{1+{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\}\\ {\displaystyle \frac{k}{3}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\}\end{array}\right)}\end{array}$$である。したがって$$R_n=(\frac{k}{2}\{1+{(-\frac{1}{3})}^n\},\frac{k}{3}\{1-{(-\frac{1}{3})}^n\})$$である。

(4) $${\displaystyle s_n={(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n}$$とおくと，(3)より$$R_n-R_{n-1}=(\frac{k}{2}(s_n-s_{n-1}),-\frac{k}{3}(s_n-s_{n-1}))$$である。また$$s_n-s_{n-1}={(-\frac{1}{3})}^{n-1}(-\frac{1}{3}-1)=-\frac{4}{3}{(-\frac{1}{3})}^{n-1}$$だから $${\displaystyle \mathrm{\mid }{s}_n-s_{n-1}\mathrm{\mid }=\frac{4}{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{R}_n-R_{n-1}\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }{s}_n-s_{n-1}\mathrm{\mid }k\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}k\cdot \frac{\sqrt{13}}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2k\sqrt{13}}{9}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}\end{array}$$である。よって求める和は$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }{R}_n-R_{n-1}\mathrm{\mid }=\frac{2k\sqrt{13}}{9}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{2k\sqrt{13}}{9}\cdot \frac{1}{1-1\mathrm{/}3}=\frac{k\sqrt{13}}{3}$$である。

極限点へ交互に近づく $R_n$

図は $k=6$。$(-1\mathrm{/}3{)}^n$ の符号が交互に変わり、極限点へ収束する。