九州大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $-1\leqq x<0$ では $$f(x)={\displaystyle \frac{\log (1-x)}{1-x}}$$ であり，微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\log (1-x)-1}{(1-x{)}^2}}$$ である。この範囲では $1<1-x\leqq 2<e$ なので $\log (1-x)-1<0$ であり，$f$ は $[-1,0)$ で減少する。 $x\geqq 0$ では $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-\log (1+x)}{(1+x{)}^2}}$$ である。したがって $0<x<e-1$ で増加，$x=e-1$ で極大，$x>e-1$ で減少する。

値は $$f(0)=0,f(e-1)={\displaystyle \frac{1}{e}},f(-1)={\displaystyle \frac{\log 2}{2}}$$ である。関数 $\log t\mathrm{/}t$ は $1<t<e$ で増加するので，$2<e$ より $\log 2\mathrm{/}2<1\mathrm{/}e$ である。よって最小値は $0$ で，これは $x=0$ で取る。最大値は ${\displaystyle \frac{1}{e}}$ で，これは $x=e-1$ で取る。

(2) $0\leqq u\leqq 1$ について $$f(-u)=\log (1+u)\mathrm{/}(1+u)=f(u)$$ である。そこで $0\leqq x\leqq e-1$ の関数 $$\varphi (x)={\displaystyle \frac{\log (1+x)}{1+x}}$$ を用いると，$$S(a)=2{\int }_0^1\mathrm{\mid }\varphi (x)-a\mathrm{\mid }dx+{\int }_1^{e-1}\mathrm{\mid }\varphi (x)-a\mathrm{\mid }dx$$と書ける。$\varphi$ は $[0,e-1]$ で増加する。 $0\leqq a\leqq 1\mathrm{/}e$ に対して，$\varphi (t)=a$ となる $t$ がただ1つ存在する。まず $0\leqq t\leqq 1$ の場合を考える。$a$ を少し増やしたとき，$\varphi (x)<a$ の部分は積分値を増やし，$\varphi (x)>a$ の部分は積分値を減らす。重みを考えると $${\displaystyle \frac{dS}{da}}=2t-\{2(1-t)+(e-2)\}=4t-e$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{dS}{dt}}=(4t-e){\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)$$ となる。$0<t<1$ では ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ なので，この範囲での最小は $$t={\displaystyle \frac{e}{4}}$$ のときである。$2<e<3$ より $0<e\mathrm{/}4<1$ だから，確かにこの場合に含まれる。

次に $1<t\leqq e-1$ では，同じ考え方により $${\displaystyle \frac{dS}{da}}=\{2+(t-1)\}-\{(e-1)-t\}=2t+2-e$$ である。ここでは $t>1$ かつ $e<3$ なので $2t+2-e>0$ となり，最小点は現れない。

したがって求める $a$ は $t=e\mathrm{/}4$ に対応する値で，$$a=\varphi \left({\displaystyle \frac{e}{4}}\right)={\displaystyle \frac{\log (1+e\mathrm{/}4)}{1+e\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{4\log {\displaystyle \frac{4+e}{4}}}{4+e}}$$である。

絶対偏差の最小値は，$f(x)<a$ と $f(x)>a$ の区間長が釣り合う高さで生じる。