九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

得点が1になるには，1回目に1以外の $k$ 以下のカードを引き，そのカードを戻さずに2回目に1を引く必要がある。1回目の選び方は $2,3,\dots ,k$ の $k-1$ 通りなので $$P(1)={\displaystyle \frac{k-1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{k-1}{90}}$$ である。

得点が10になるのは，1回目に10を引く場合，または1回目に $k$ 以下のカードを引いて2回目に10を引く場合である。したがって $$P(10)={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{k}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{k+9}{90}}$$ である。

(2) $2\leqq n\leqq k$ のとき，$n$ は1回目では得点にならない。得点が $n$ になるには，1回目に $k$ 以下で $n$ 以外のカードを引き，2回目に $n$ を引く必要がある。よって $$P(n)={\displaystyle \frac{k-1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{k-1}{90}}(2\leqq n\leqq k)$$ である。 $k<n\leqq 9$ のときは，1回目に $n$ を引く場合と，1回目に $k$ 以下を引いて2回目に $n$ を引く場合があるので$$P(n)={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{k}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{k+9}{90}}(k<n\leqq 9)$$である。

(3)

(1) (2)をまとめると，$1\leqq n\leqq k$ では $P(n)=(k-1)\mathrm{/}90$，$k+1\leqq n\leqq 10$ では $P(n)=(k+9)\mathrm{/}90$ である。したがって期待値 $E$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =\sum _{n=1}^{k}n{\displaystyle \frac{k-1}{90}}+\sum _{n=k+1}^{10}n{\displaystyle \frac{k+9}{90}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k-1}{90}}\cdot {\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}+{\displaystyle \frac{k+9}{90}}(55-{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-k^2+10k+99}{18}}}\end{array}$$である。

得点分布は，1回目で確定する場合と2回目へ進む場合を分けて数える。

2回目まで進む試行を，1回目と2回目の順序付きカード対として数える。得点が $k$ 以下か大きいかで有利な対の個数が一定になることを先に示し，期待値だけは1回目の番号に関する条件付き平均でも計算して一致を確認する。

(1) 2回目まで進む場合の順序付きカード対は全部で $10\cdot 9=90$ 通りである。得点1を作るには，1回目が $2,3,\dots ,k$ のいずれか，2回目が1であればよい。したがって$$P(1)={\displaystyle \frac{k-1}{90}}\mathrm{.}$$得点10は，1回目に10を引く確率 $1\mathrm{/}10$ と，1回目に $k$ 以下を引いて2回目に10を引く確率 $k\mathrm{/}90$ の和なので$$P(10)={\displaystyle \frac{9}{90}}+{\displaystyle \frac{k}{90}}={\displaystyle \frac{k+9}{90}}\mathrm{.}$$(2) $2\leqq n\leqq k$ では，1回目に $n$ 以外の $k$ 以下の番号，2回目に $n$ を引く $k-1$ 個の順序付き対だけが該当する。よって$$P(n)={\displaystyle \frac{k-1}{90}}(2\leqq n\leqq k)\mathrm{.}$$$k<n\leqq 9$ では，1回目に $n$ を引く場合9個分と，2回目に $n$ を引く場合 $k$ 個分があるので$$P(n)={\displaystyle \frac{k+9}{90}}(k<n\leqq 9)\mathrm{.}$$(3) 1回目の番号を $j$ とする。$j>k$ なら得点は $j$，$j\leqq k$ なら2回目の番号の平均は $(55-j)\mathrm{/}9$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{10}}\sum _{j=k+1}^{10}j+{\displaystyle \frac{1}{10}}\sum _{j=1}^k{\displaystyle \frac{55-j}{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-k^2+10k+99}{18}}\mathrm{.}}\end{array}$$これは(1)(2)の分布から直接和を取った値とも一致する。