九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f(x)=e^x\mathrm{/}(e^x+1)$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x(e^x+1)-e^x\cdot e^x}{(e^x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}}>0$$である。したがって $f$ は全実数で単調増加する。

さらに $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1{)}^3}}$$ である。よって $x<0$ では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$，$x>0$ では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり，$x=0$ で凹凸が変わる。変曲点は $(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ である。

また $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=1$$ なので，水平漸近線は $y=0,y=1$ である。以上をもとに，$y=0$ と $y=1$ の間で単調増加し，$(0,1\mathrm{/}2)$ で凹凸が変わるS字型のグラフをかけばよい。

(2) $y=f(x)$ とおくと $$y={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$$ である。$0<y<1$ に注意して変形すると $$y(e^x+1)=e^x,y=e^x(1-y)$$ より $$e^x={\displaystyle \frac{y}{1-y}}$$ である。したがって $$f^{-1}(y)=\log {\displaystyle \frac{y}{1-y}}(0<y<1)$$ である。変数名を $x$ に戻せば $$f^{-1}(x)=\log {\displaystyle \frac{x}{1-x}}(0<x<1)$$ である。

(3)

(2) より$$f^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{n+2}}\right)=\log {\displaystyle \frac{1\mathrm{/}(n+2)}{1-1\mathrm{/}(n+2)}}=\log {\displaystyle \frac{1}{n+1}}=-\log (n+1)$$であり，$$f^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{n+1}}\right)=\log {\displaystyle \frac{1\mathrm{/}(n+1)}{1-1\mathrm{/}(n+1)}}=\log {\displaystyle \frac{1}{n}}=-\log n$$である。したがって与式は $$n\{-\log (n+1)+\log n\}=-n\log (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$$ となる。$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+1\mathrm{/}n{)}^n=e$$ より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\log (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})=1$$ であるから，求める極限は $-1$ である。

$y=0,1$ を水平漸近線にもち，$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ で凹凸が変わる。