九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

1回の操作では、交換する2枚のカードを ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通りから選ぶ。2回の操作は順序付きで考えるので、全体は $6^2=36$ 通りである。

2回後に元の並び $1,2,3,4$ に戻るには、1回目と2回目で同じ2枚を交換すればよい。1回目の選び方は6通りで、それぞれ2回目は同じ組に限られる。したがって有利な場合は6通りであり、確率は $$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$ である。

(2)

並び $4,3,2,1$ は、もとの並びから見ると、カード1と4を入れかえ、同時にカード2と3を入れかえた状態である。したがって2回の操作では、交換 $(1,4)$ と交換 $(2,3)$ を1回ずつ行う必要がある。

この2つの交換の順序は $(1,4)\text{ の後に }(2,3),(2,3)\text{ の後に }(1,4)$ の2通りである。よって確率は $$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$ である。

(3)

カード1の位置だけを追う。1回の操作でカード1が同じ位置に残るのは、交換する2枚にカード1が含まれない場合である。カード1以外の3枚から2枚を選ぶので ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りあり、確率は $$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$ である。また、カード1が指定した別の1つの位置へ移るには、その位置のカードとカード1を交換する必要があるので、確率は $\frac{1}{6}$ である。

2回後にカード1が左端にある場合は、1回ごとの位置の動きで考えると、左端に残り続ける場合と、いったん他の3位置へ移ってから左端へ戻る場合である。したがって$${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+3{\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{36}=\frac{1}{3}$$である。

(4)

(3) より、左端のカードが1である確率は $1\mathrm{/}3$ である。カード2,3,4は初期位置が左端でないという点で対称なので、2回後に左端にある確率はそれぞれ等しい。したがってそれぞれ $$\frac{1-\frac{1}{3}}{3}=\frac{2}{9}$$ である。

よって左端のカードの数字の期待値は$$1\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{2}{9}+3\cdot \frac{2}{9}+4\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{3}+(2+3+4)\frac{2}{9}=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$$である。