九州大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

得点の合計が3点に達してちょうど5回目で終了するには、5回目が表で、はじめの4回のうち表が2回出ればよい。したがって確率は$$\frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{2^5}=\frac{3}{16}$$である。

一般に、ちょうど $n$ 回目で終了する確率は$$q_n=\frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_2}{2^n}(n\geqq 3)$$であり、$q_1=q_2=0$ である。

$n$ 回目までに終了していないのは、$n$ 回の中で表が0回、1回、2回のいずれかである。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{q}_i}& {\displaystyle =1-\frac{{}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2}{2^n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{n^2+n+2}{2^{n+1}}}\end{array}$$となる。

(2)

ちょうど $n$ 回目で $k$ 点に達するには、最後が表で、その前までに表が $k-1$ 回出ればよい。したがって$$p_k(n)=\frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{2^n}(n\geqq k)$$である。

$k=1$ では $p_1(n)=2^{-n}$ だから、最大値は $1\mathrm{/}2$ である。$k\geqq 2$ では$$\frac{p_k(n+1)}{p_k(n)}=\frac{n}{2(n-k+1)}$$であり、この比が1以上となるのは $n\leqq 2k-2$ のときである。よって最大は $n=2k-2,2k-1$ の2か所で生じ、最大値は$$\frac{{}_{2k-3}{\mathrm{C}}_{k-1}}{2^{2k-2}}$$である。

$k=4$ の終了時刻分布

$k=4$ では $n=6,7$ が同じ最大値をとる。一般に最大位置は $2k-2,2k-1$。

終了時刻の確率 $q_n$ を直接求め、累積確率の公式を数学的帰納法で証明する。(2) は二項係数の隣接比ではなく、確率列そのものの隣接比から最大位置を決める。

(1) $$q_5=\frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{2^5}=\frac{3}{16},q_n=\frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_2}{2^n}$$である。$n=1$ では$$\sum _{i=1}^1{q}_i=0=1-\frac{1^2+1+2}{2^2}$$である。公式が $n$ で成り立つと仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}{q}_i}& {\displaystyle =1-\frac{n^2+n+2}{2^{n+1}}+\frac{{}_n{\mathrm{C}}_2}{2^{n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{n^2+3n+4}{2^{n+2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{(n+1{)}^2+(n+1)+2}{2^{n+2}}}\end{array}$$となる。したがってすべての正の整数 $n$ で公式が成り立つ。

(2) $$p_k(n)=\frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{2^n}$$である。$k=1$ の最大値は $1\mathrm{/}2$。$k\geqq 2$ について$$p_k(n+1)-p_k(n)=p_k(n)\{\frac{n}{2(n-k+1)}-1\}$$の符号は $2k-2-n$ の符号と一致する。したがって最大位置は $2k-2,2k-1$ で、最大値は$$\frac{{}_{2k-3}{\mathrm{C}}_{k-1}}{2^{2k-2}}$$である。