九州大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

1回の試行で起こる移動を先に分類する。

2個のサイコロの目を区別して36通りで数える。両方の目が1または2であれば $X<3$ かつ $Y<3$ なので、点Pは動かない。この確率は $${\displaystyle \frac{2\cdot 2}{36}=\frac{1}{9}}$$ である。

一方、一方の目が1または2、もう一方の目が3以上であれば、$X\geqq 3$ だが $Y<3$ なので、移動は $(1,0)$ である。この場合は $2\cdot 2\cdot 4=16$ 通りあるから、確率は $${\displaystyle \frac{16}{36}=\frac{4}{9}}$$ である。

最後に、両方の目が3以上であれば、$X\geqq 3$ かつ $Y\geqq 3$ なので、移動は $(1,1)$ である。この確率は $${\displaystyle \frac{4\cdot 4}{36}=\frac{4}{9}}$$ である。

したがって1回の移動は $(0,0),(1,0),(1,1)$ のいずれかであり、それぞれの確率は ${\displaystyle \frac{1}{9},\frac{4}{9},\frac{4}{9}}$ である。

1回の試行で可能な変位は、次の3本だけである。

(1)
1回目の終了時に点Pが $(1,0)$ にあるのは、1回の移動が $(1,0)$ である場合である。よって求める確率は ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ である。

(2)
2回目の終了時に点Pが $(1,1)$ にあるには、2回の移動の合計が $(1,1)$ になればよい。可能なのは $(1,1)+(0,0)$ またはその順序を入れ替えた場合だけである。$(1,0)$ を使うと $y$ 座標が増えないので、2回で $(1,1)$ にはならない。

したがって求める確率は $${\displaystyle 2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{9}=\frac{8}{81}}$$ である。

(3)
$n$ 回目の試行終了時に点Pが $(n,n-1)$ にあるとする。$x$ 座標が $n$ であるためには、$n$ 回すべての試行で $x$ 方向に1進まなければならない。したがって各回の移動は $(1,0)$ または $(1,1)$ である。

そのうえで $y$ 座標が $n-1$ になるには、$n$ 回のうち $n-1$ 回が $(1,1)$、残り1回が $(1,0)$ でなければならない。$(1,0)$ となる回の選び方は $n$ 通りである。

各回の確率はどちらも $4\mathrm{/}9$ なので、求める確率は $${\displaystyle n{\left(\frac{4}{9}\right)}^{n-1}\frac{4}{9}=n{\left(\frac{4}{9}\right)}^n}$$ である。