九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

1回目を$i$，2回目を$j$とする。常に2回振るとき，得点は$i+j\leqq 6$なら$i+j$，$i+j\geqq 7$なら$0$である。したがって有効な和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+6+12+20+30=70}\end{array}$$である。全事象は$36$通りだから，期待値は $${\displaystyle \frac{70}{36}=\frac{35}{18}}$$ である。

(2)

最初の目が$6$のときはそのまま$6$点を取る。最初の目が$i=1,2,3,4,5$のときは2回目を振るので，期待値は$$\frac{1}{6}\cdot 6+\frac{1}{36}\sum _{i=1}^5\sum _{j=1}^6\{\begin{array}{ll}i+j& (i+j\leqq 6),\\ 0& (i+j\geqq 7)\end{array}$$である。内側の有効な合計を並べると，$i=1,2,3,4,5$に対して $20,18,15,11,6$ であり，総和は$70$である。よって $${\displaystyle 1+\frac{70}{36}=1+\frac{35}{18}=\frac{53}{18}}$$ である。

(3)

最初の目が$i$のとき，2回目を振ると得点が正になるのは$j\leqq 6-i$の場合だけである。したがって，2回目を振る場合の条件付き期待値$E_i$は $${\displaystyle E_i=\frac{1}{6}\sum _{j=1}^{6-i}(i+j)}$$ である。各$i$について計算すると$$\begin{array}{ccccccc}i& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ E_i& {\displaystyle \frac{10}{3}}& 3& {\displaystyle \frac{5}{2}}& {\displaystyle \frac{11}{6}}& 1& 0\end{array}$$である。

そのままにすれば得点は$i$であるから，$E_i>i$のときは振り直し，$E_i<i$のときはそのままにするのがよい。表より $E_1>1,E_2>2,$ であり，$i=3,4,5,6$では$E_i<i$である。したがって期待値を最大にするには $\text{最初の目が }1\text{ または }2\text{ のときだけ2回目を振る}$ のがよい。

なお，$E_i$を式で処理しても $${\displaystyle E_i=\frac{(6-i)(i+7)}{12}}$$ であり，$E_i>i$は $i^2+13i-42<0$ となる。整数$i=1,2,\dots ,6$の中では，やはり$i=1,2$だけが該当する。

止める得点と振り直す期待値

青が橙より上にある $i=1,2$ のときだけ、2回目を振る。