九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

箱Aには常に3個の玉があり、
黒玉は全体で3個、白玉は全体で2個である。そこで、箱Aの黒玉数が
$k$ 個である状態を $k$ と書く。可能な状態は $1,2,3$ である。

たとえば状態3では、Aから出る2個はともに黒玉である。移した後の
Bは黒玉2個、白玉2個なので、Bから戻る黒玉数が $0,1,2$ である確率は$$\frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_4{\mathrm{C}}_2},\frac{{}_2{\mathrm{C}}_1{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_4{\mathrm{C}}_2},\frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{6},\frac{2}{3},\frac{1}{6}$$である。同様に状態1、状態2でも、Aから出す黒玉数ごとに分けると、
1回の試行Tによる遷移確率は次の表になる。$$\begin{array}{cccc}& 1& 2& 3\\ 1& {\displaystyle \frac{7}{18}}& {\displaystyle \frac{5}{9}}& {\displaystyle \frac{1}{18}}\\ 2& {\displaystyle \frac{5}{18}}& {\displaystyle \frac{11}{18}}& {\displaystyle \frac{1}{9}}\\ 3& {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$たとえば第2行は、Aから黒玉2個を出す確率
${\displaystyle \frac{1}{3}}$ と、黒玉1個、白玉1個を出す確率
${\displaystyle \frac{2}{3}}$ に分けて得られる。

(1)
初期状態は3であるから、表の第3行より$$p_1=\frac{1}{6},p_2=\frac{2}{3},p_3=\frac{1}{6}$$である。

(2)
(1)の分布に遷移確率をもう一度掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q_1}& {\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot \frac{7}{18}+\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{18}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{18},}\\ {\displaystyle q_2}& {\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{9}+\frac{2}{3}\cdot \frac{11}{18}+\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}=\frac{11}{18},}\\ {\displaystyle q_3}& {\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{18}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{9}}\end{array}$$である。

(3)
2回後の各状態から状態3へ移る確率を足し合わせればよい。したがって$$\frac{5}{18}\cdot \frac{1}{18}+\frac{11}{18}\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{6}=\frac{11}{108}$$である。