(1) f(x)=−xsinx であるから f′(x)=−sinx−xcosx であり、さらに f′′(x)=−2cosx+xsinx である。
まず 0<x<π/2 で考える。この範囲では cosx>0 なので、f′′(x)=0 は −2cosx+xsinx=0 すなわち xtanx=2 と同値である。ここで xtanx は 0<x<π/2 で単調増加する。実際、微分すると tanx+xcos2x1>0 である。また x→0+ で xtanx→0、x→π/2− で xtanx→∞ である。したがって xtanx=2 はこの範囲にただ1つの解をもつ。
次に π/2<x<π では cosx<0、sinx>0 であるから −2cosx+xsinx>0 である。よってこの範囲には f′′(x)=0 の解はない。したがって 0<x<π において、方程式 f′′(x)=0 はただ1つの解 x=a をもつ。
(2)
(1) で得た a より右側では f′′(x)>0 である。したがって a<x<π で f′(x) は単調増加する。
ここで f′(2π)=−sin2π−2πcos2π=−1 である。さらに a<π/2 であり、f′ は (a,π) で単調増加するので、方程式 f′(x)=−1 の解は b=2π のただ1つである。
この点での曲線上の点は(2π,f(2π))=(2π,−2π)である。接線の傾きは f′(b)=−1 なので、法線の傾きは 1 である。したがって法線 m は y+2π=x−2π すなわち y=x−π である。
回転する領域は 0≦x≦π/2 で曲線と法線の間にある。
(3)
法線 m は y=x−π であり、0≦x≦π/2 では x−π<0 である。また曲線は y=−xsinx≦0 である。x=π/2 では両者は一致し、0≦x<π/2 では法線の方が下にある。
したがって x 軸のまわりに回転すると、外半径は π−x、内半径は xsinx である。よって体積はV=π∫0π/2{(π−x)2−x2sin2x}dxである。
まず∫0π/2(π−x)2dx=[−3(π−x)3]0π/2=247π3である。また sin2x=(1−cos2x)/2 を用いると∫0π/2x2sin2xdx=21∫0π/2x2dx−21∫0π/2x2cos2xdxである。部分積分により∫0π/2x2cos2xdx=−4πなので∫0π/2x2sin2xdx=48π3+8πである。
したがってV=π{247π3−(48π3+8π)}=π(4813π3−8π)=48π2(13π2−6).
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