九州大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

角 $\theta$ の回転によって $(a,b)$ が $(2,1)$ に移されるので、$(a,b)$ は $(2,1)$ を角 $-\theta$ だけ回転した点である。したがって$$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$である。よって $$a=2\cos \theta +\sin \theta ,b=-2\sin \theta +\cos \theta$$ である。

(2)

直線 $l$ の方向の単位ベクトルを $$\vec{e}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とし、それに垂直な単位ベクトルを $$\vec{n}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$ とする。点 $P(x,y)$ の位置ベクトルは $\vec{p}=(x,y)$ である。$\vec{p}$ を $\vec{e}$ 方向と $\vec{n}$ 方向に分けると $$\vec{p}=(\vec{p}\cdot \vec{e})\vec{e}+(\vec{p}\cdot \vec{n})\vec{n}$$ である。直線 $l$ に関する対称移動では、$\vec{e}$ 方向成分はそのままで、$\vec{n}$ 方向成分だけ符号が変わる。したがって $${\vec{p}}^{\mathrm{\prime }}=(\vec{p}\cdot \vec{e})\vec{e}-(\vec{p}\cdot \vec{n})\vec{n}$$ である。

これを成分で計算すると $$x^{\mathrm{\prime }}=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta$$ であり、$$y^{\mathrm{\prime }}=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta$$ である。よってこの移動を表す行列は$$A_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right)$$である。

直線 $l$ 方向の成分を保ち、垂直成分だけ符号を反転する。

(3) $x$ 軸に関する対称移動を表す行列は$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$である。また$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),R_{\theta }^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$である。したがって$$R_{\theta }B{R}_{\theta }^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$である。これを計算すると$$R_{\theta }B{R}_{\theta }^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right)=A_{\theta }$$となる。

(4)

(2) の結果を用いて計算する。加法定理により$$A_{\alpha }{A}_{\beta }=\left(\begin{array}{cc}\cos 2(\alpha -\beta )& -\sin 2(\alpha -\beta )\\ \sin 2(\alpha -\beta )& \cos 2(\alpha -\beta )\end{array}\right)$$である。これは角 $2(\alpha -\beta )$ の回転移動を表す行列である。

次に、これに $A_{\gamma }$ を掛けると$$A_{\alpha }{A}_{\beta }{A}_{\gamma }=\left(\begin{array}{cc}\cos 2(\alpha -\beta +\gamma )& \sin 2(\alpha -\beta +\gamma )\\ \sin 2(\alpha -\beta +\gamma )& -\cos 2(\alpha -\beta +\gamma )\end{array}\right)$$となる。

これがある角 $\varphi$ の回転移動を表すと仮定すると$$\left(\begin{array}{cc}\cos 2(\alpha -\beta +\gamma )& \sin 2(\alpha -\beta +\gamma )\\ \sin 2(\alpha -\beta +\gamma )& -\cos 2(\alpha -\beta +\gamma )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)$$である。左上成分と右下成分を比べると $\cos \varphi =-\cos \varphi$ となるので $\cos \varphi =0$ である。一方、右上成分と左下成分を比べると $-\sin \varphi =\sin \varphi$ となるので $\sin \varphi =0$ である。これは $\sin \varphi$ と $\cos \varphi$ が同時に0になることを意味し、不可能である。したがって $A_{\alpha }{A}_{\beta }{A}_{\gamma }$ は決して回転移動を表さない。

なお、幾何的には、$A_{\theta }$ は原点を通る直線に関する対称移動である。2つの対称移動を続けると、2つの対称軸のなす角の2倍だけ回転する移動になる。一方、3つの対称移動は「回転の後に対称移動」を行う形になるので、向きを反転する移動であり、向きを保つ回転移動にはならない。これは上の行列計算で得た反射型の行列と一致している。