九州大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

直線$l$は $ax-y=0$ と書ける。曲線$C$は直線$l$の下側にあるので，点$(t,f(t))$について $at-f(t)\geqq 0$ である。したがって点$(t,f(t))$と直線$l$との距離は ${\displaystyle \frac{at-f(t)}{\sqrt{a^2+1}}}$ である。これが$a{t}^2$に等しいから $${\displaystyle \frac{at-f(t)}{\sqrt{a^2+1}}=a{t}^2}$$ であり，$$f(t)=at-a\sqrt{a^2+1}{t}^2$$ を得る。よって $$f(x)=ax-a\sqrt{a^2+1}{x}^2$$ である。

(2) $$k=\sqrt{a^2+1}$$とおくと $f(x)=ax-ak{x}^2=ax(1-kx)$ である。$x\geqq 0$で$f(x)=0$となるのは $${\displaystyle x=0,x=\frac{1}{k}}$$ であるから，曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分は$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}k$にある。したがって回転体の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}k}\{ax(1-kx){\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi a^2{\int }_0^{1\mathrm{/}k}{x}^2(1-kx{)}^{2}dx}\end{array}$$である。$u=kx$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1\mathrm{/}k}{x}^2(1-kx{)}^{2}dx}& {\displaystyle =\frac{1}{k^3}{\int }_0^1{u}^2(1-u{)}^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{k^3}{\int }_0^1(u^2-2u^3+u^4)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{k^3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{30k^3}}\end{array}$$である。よって $${\displaystyle V=\frac{\pi a^2}{30(a^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}}$$ である。

(3)

$\pi \mathrm{/}30$は正の定数なので，$${\displaystyle \varphi (a)=\frac{a^2}{(a^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}(a>0)}$$ を最大にすればよい。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =2a(a^2+1{)}^{-3\mathrm{/}2}-3a^3(a^2+1{)}^{-5\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a(2-a^2)}{(a^2+1{)}^{5\mathrm{/}2}}}\end{array}$$である。$a>0$より，${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)$の符号は$2-a^2$の符号で決まる。したがって$\varphi (a)$は $0<a<\sqrt{2}$ で増加し，$a>\sqrt{2}$ で減少する。よって$V$を最大にする$a$は $a=\sqrt{2}$ である。

直線の下側に決まる放物線

曲線は直線の下側にあり、$x$ 軸との間の青い領域を回転する。図は $a=1$。

(1) (2) は距離公式と円板法で求める。(3) では $x=a^2$ と置き、最大化する式を平方して、等号条件が明瞭な多項式恒等式へ帰着する。

(1)

曲線が直線 $ax-y=0$ の下側にあることから距離は$$\frac{at-f(t)}{\sqrt{a^2+1}}$$である。これを $a{t}^2$ と等置して$$f(x)=ax-a\sqrt{a^2+1}{x}^2$$を得る。

(2) $$k=\sqrt{a^2+1}$$ と置けば、囲まれる区間は $0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}k$ である。円板法と $u=kx$ により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi a^2{\int }_0^{1\mathrm{/}k}{x}^2(1-kx{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi a^2}{30(a^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}}\end{array}$$となる。

(3) $$\varphi (a)=\frac{a^2}{(a^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}$$を最大にする。$x=a^2>0$ と置くと$$\varphi (a{)}^2=\frac{x^2}{(x+1{)}^3}$$である。恒等式$$4(x+1{)}^3-27x^2=(x-2{)}^2(4x+1)\geqq 0$$より$$\varphi (a{)}^2\leqq \frac{4}{27}$$であり、等号は $x=2$ のときに限る。したがって$$a=\sqrt{2}$$のとき $V$ は最大になる。