九州大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

表が出た硬貨の合計額を $S$ とする。賞金は $S\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid }$ である。これが0になるのは $S=0$ または $\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid }=0$ のときである。 $S=0$ となるのは6枚の硬貨がすべて裏のときなので、その確率は $\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$ である。また $\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid }=0$ はさいころの目が $2$ のときであり、その確率は $\frac{1}{6}$ である。硬貨とさいころは独立なので、両方が同時に起こる確率は $\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{6}$ である。したがって包除原理により、求める確率は $$\frac{1}{64}+\frac{1}{6}-\frac{1}{64}\cdot \frac{1}{6}=\frac{23}{128}$$ である。

(2)

50円硬貨の表の枚数を $i$、100円硬貨の表の枚数を $j$ とすると $S=50i+100j$ であり、$0\leqq i,j\leqq 3$ である。このようになる硬貨の出方は ${}_3{\mathrm{C}}_i{}_3{\mathrm{C}}_j$ 通りである。分布をまとめると、$S$ は50円刻みで $0,50,100,150,200,250,300,350,400,450$ を取り、それぞれの場合の数は $1,3,6,10,12,12,10,6,3,1$ である。

さいころの倍率 $\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid }$ は、$n=1,2,3,4,5,6$ に対して $1,0,1,2,3,4$ である。倍率0では賞金は0、倍率1では最大でも450円なので、500円以上にはならない。したがって考えるのは倍率2,3,4のときだけである。

倍率2のときは $2S\geqq 500$ より $S\geqq 250$ が必要で、この場合の硬貨の出方は $12+10+6+3+1=32$ 通りである。倍率3のときは $3S\geqq 500$ なので、50円刻みで考えて $S\geqq 200$ が必要であり、場合の数は $12+12+10+6+3+1=44$ 通りである。倍率4のときは $4S\geqq 500$ なので $S\geqq 150$ が必要で、場合の数は $10+12+12+10+6+3+1=54$ 通りである。

さいころの各目は1通りずつで、全事象は $64\cdot 6=384$ 通りである。よって有利な場合の数は $32+44+54=130$ であり、求める確率は $$\frac{130}{384}=\frac{65}{192}$$ である。

(3)

硬貨の合計額 $S$ と倍率 $\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid }$ は独立である。したがって賞金の期待値は $E(S\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid })=E(S)E(\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid })$ である。

まず、各硬貨が表になる確率は $1\mathrm{/}2$ であるから $$E(S)=3\cdot 50\cdot \frac{1}{2}+3\cdot 100\cdot \frac{1}{2}=75+150=225$$ である。また、さいころの倍率の期待値は$$E(\mathrm{\mid }n-2\mathrm{\mid })=\frac{\mathrm{\mid }1-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }2-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }3-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }4-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }5-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }6-2\mathrm{\mid }}{6}=\frac{1+0+1+2+3+4}{6}=\frac{11}{6}$$である。よって賞金の期待値は $$225\cdot \frac{11}{6}=\frac{825}{2}\text{円}$$ である。