九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

直線 $y=x$ の傾きは1であるから、これに垂直な直線 $PH$ の傾きは $-1$ である。点 $P(t,\sqrt{t})$ を通るので$$y-\sqrt{t}=-(x-t),\text{すなわち}y=t+\sqrt{t}-x$$である。これと $y=x$ を連立すると$$H(\frac{t+\sqrt{t}}{2},\frac{t+\sqrt{t}}{2})$$を得る。

$t>1$ の代表的な配置。ここでは $1<H_x<t$ となる。

(2) $$r=\sqrt{t},u=\frac{t+\sqrt{t}}{2}=\frac{r^2+r}{2}$$とおく。$t>1$ すなわち $r>1$ なので$$u-1=\frac{(r-1)(r+2)}{2}>0,t-u=\frac{r(r-1)}{2}>0$$であり、$1<u<t$ が確かめられる。したがって、$1\leqq x\leqq u$ では上側が直線 $y=x$、$u\leqq x\leqq t$ では上側が線分 $PH$ である。よって$$S_1={\int }_1^u(x-\sqrt{x})dx+{\int }_u^{r^2}(r^2+r-x-\sqrt{x})dx\mathrm{.}$$同じ種類の項をまとめると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_1^{u}xdx+{\int }_u^{r^2}(r^2+r-x)dx-{\int }_1^{r^2}\sqrt{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{\frac{r^2(r+1{)}^2}{8}-\frac{1}{2}\}+\frac{r^2(r^2+2r-3)}{8}-\frac{2}{3}(r^3-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(r-1{)}^2(3r^2+4r+2)}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$$$r=\sqrt{t}$$ に戻せば$$S_1=\frac{3t^2-2t\sqrt{t}-3t+2}{12}\mathrm{.}$$(3)

曲線 $$y=\sqrt{x}$$ と直線 $y=x$ は $x=0,1$ で交わり、$0\leqq x\leqq 1$ では $$\sqrt{x}\geqq x$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{2}{3}{x}^{3\mathrm{/}2}-\frac{x^2}{2}]}_0^1=\frac{1}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$$S_1=S_2$ は$$(r-1{)}^2(3r^2+4r+2)=2$$と同値である。左辺を展開して整理すると$$r^2(3r^2-2r-3)=0.$$$r>1$ なので$$r=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\mathrm{.}$$したがって$$t=r^2={\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)}^2=\frac{11+2\sqrt{10}}{9}\mathrm{.}$$