九州大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

注：原文(2)の左辺にある $S_n$ は、文脈上 $S_N$ の誤記と解釈する。

(1)

$T_n$で$x=u+k(n-1)$とおくと，$u$は$0$から$k$まで動く。$f$は周期$k$をもつので $f(u+k(n-1))=f(u)$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_n}& {\displaystyle ={\int }_0^k{e}^{-(u+k(n-1))}f(u+k(n-1))du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-k(n-1)}{\int }_0^k{e}^{-u}f(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-k(n-1)}{T}_1}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_N}& {\displaystyle =T_1\{1+e^{-k}+e^{-2k}+\cdots +e^{-k(N-1)}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-e^{-kN}}{1-e^{-k}}{T}_1}\end{array}$$である。

(2)

$z\geqq k$に対し，$kN\leqq z<k(N+1)$ を満たす整数$N$，すなわち $${\displaystyle N=\lfloor \frac{z}{k}\rfloor }$$ をとる。このとき$f(x)\geqq 0$より$e^{-x}f(x)\geqq 0$であるから，積分区間の包含関係から$${\int }_0^{kN}{e}^{-x}f(x)dx\leqq {\int }_0^z{e}^{-x}f(x)dx<{\int }_0^{k(N+1)}{e}^{-x}f(x)dx$$である。左辺と右辺はそれぞれ$S_N$，$S_{N+1}$なので $$S_N\leqq {\int }_0^z{e}^{-x}f(x)dx<S_{N+1}$$ である。

$z\to \mathrm{\infty }$のとき$N\to \mathrm{\infty }$であり，(1)より $${\displaystyle S_N\to \frac{T_1}{1-e^{-k}},S_{N+1}\to \frac{T_1}{1-e^{-k}}}$$ である。したがってはさみうちにより $$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^z{e}^{-x}f(x)dx=\frac{T_1}{1-e^{-k}}$$ である。

(3)

$h(x)=e^{-x}\mathrm{\mid }\cos \pi x\mathrm{\mid }$であり，$f(x)=\mathrm{\mid }\cos \pi x\mathrm{\mid }$ とおけば，$f$は周期$1$をもつ非負関数である。したがって(2)を$k=1$で用いれば，求める極限は ${\displaystyle \frac{T_1}{1-e^{-1}}}$ である。

ここで $$T_1={\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{\mid }\cos \pi x\mathrm{\mid }dx$$ を計算する。$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$では$\cos \pi x\geqq 0$，$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1$では$\cos \pi x\leqq 0$である。また$$\int e^{-x}\cos \pi xdx=\frac{e^{-x}(-\cos \pi x+\pi \sin \pi x)}{1+{\pi }^2}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_1}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}2}{e}^{-x}\cos \pi xdx-{\int }_{1\mathrm{/}2}^1{e}^{-x}\cos \pi xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-e^{-1}+2\pi e^{-1\mathrm{/}2}}{1+{\pi }^2}}\end{array}$$である。したがって$$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(z)=\frac{e-1+2\pi \sqrt{e}}{(e-1)(1+{\pi }^2)}$$である。

周期区間ごとの等比減衰

周期性は各区間の形を同じにし、$e^{-x}$ が積分を区間ごとに $e^{-k}$ 倍する。