九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
円 $S$ は原点中心で点 $A(0,1)$ を通るので、半径1の円である。点 $B$ は円 $S$ 上にあり、円 $T$ は $B$ で内接しているから、$T$ の中心 $D$ は直線 $OB$ 上にある。

そこで $$D=\lambda B=(\frac{\lambda }{2},\frac{\sqrt{3}\lambda }{2})$$ とおく。円 $T$ は $y$ 軸に接しているので、その半径は中心の $x$ 座標に等しく $$r=\frac{\lambda }{2}$$ である。一方、円 $S$ の内側に内接するので、$OD=\lambda$ より $r=1-\lambda$ でもある。したがって $$\frac{\lambda }{2}=1-\lambda$$ より $\lambda =\frac{2}{3}$ である。よって$$D=(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}),r=\frac{1}{3}$$である。

(2)
回転軸 $l$ は $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ である。$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ で、外側の境界は円 $S$ の上側 $$y=\sqrt{1-x^2}$$ であり、内側の境界は円 $T$ の上側 $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}-{(x-\frac{1}{3})}^2}$$ である。したがって、回転軸からの外側半径は $\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ であり、内側半径は $\sqrt{\frac{1}{9}-{(x-\frac{1}{3})}^2}$ である。

よって求める体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}2}[{(\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2-{\left\{\sqrt{\frac{1}{9}-{(x-\frac{1}{3})}^2}\right\}}^2]dx$$である。

被積分関数を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {(\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2-\{\frac{1}{9}-{(x-\frac{1}{3})}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}-\frac{2x}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{1-x^2}\mathrm{.}}\end{array}$$また$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle ={[\frac{4x}{3}-\frac{x^2}{3}]}_0^{1\mathrm{/}2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi }{12})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7}{12}-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}\pi }{18}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{6-\sqrt{3}\pi }{18}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$V=\frac{\pi (6-\sqrt{3}\pi )}{18}$$である。

青色部分を破線 $l$ のまわりに回転する。各 $x$ で、
単位円弧までの距離が外半径、円 $T$ の上弧までの距離が内半径になる。