九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$$ である。積の微分を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2-x^2)e^{-x}}\end{array}$$である。$e^{-x}>0$ なので、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $a^2-x^2$ の符号で決まる。したがって$$x<-a\text{ で }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,-a<x<a\text{ で }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)>0,a<x\text{ で }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)<0$$である。よって $x=-a$ で極小、$x=a$ で極大となる。

値は $$f(-a)=\{a^2-2a+2-a^2\}{e}^a=2(1-a)e^a$$ であり、$$f(a)=\{a^2+2a+2-a^2\}{e}^{-a}=2(a+1)e^{-a}$$ である。したがって極小値は $2(1-a)e^a$ で、極大値は $2(a+1)e^{-a}$ である。

(2) $g(x)=x^3{e}^{-x}$ とおく。微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2{e}^{-x}-x^3{e}^{-x}=x^2(3-x)e^{-x}$$ である。$x\geqq 3$ では $3-x\leqq 0$ なので $g^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ である。したがって $g(x)$ は $x\geqq 3$ で減少し、$$x^3{e}^{-x}=g(x)\leqq g(3)=27e^{-3}$$ が成り立つ。

さらに、いま示した不等式をそのまま用いる。$x\geqq 3$ では$$0\leqq x^2{e}^{-x}=\frac{x^3{e}^{-x}}{x}\leqq \frac{27e^{-3}}{x}$$である。右辺は $x\to \mathrm{\infty }$ で0に収束するから、はさみうちの原理により$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$$である。

$0<a<1$ の模式例。水平線が3つの単調区間を1回ずつ横切る条件を読む。

(3)

2つのグラフの交点は $x^2+2x+2=k{e}^x+a^2$ を満たす $x$ に対応する。これを変形すると $(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}=k$ すなわち $f(x)=k$ である。

(1) より $f(x)$ は $(-\mathrm{\infty },-a)$ で減少、$(-a,a)$ で増加、$(a,\mathrm{\infty })$ で減少する。また ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=0$ である。さらに $x\to -\mathrm{\infty }$ では $$(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}\to \mathrm{\infty }$$ である。

したがって、3つの異なる交点をもつには、水平線 $y=k$ が3つの単調区間でそれぞれ1回ずつグラフを横切る必要がある。左と中央の2区間で交わるためには $$2(1-a)e^a<k<2(a+1)e^{-a}$$ が必要である。さらに右側の区間 $(a,\mathrm{\infty })$ では、$f$ は極大値 $2(a+1)e^{-a}$ から0へ減少するので、ここで交わるためには $0<k<2(a+1)e^{-a}$ が必要である。

以上を合わせると、必要十分条件は$$\max \{0,2(1-a)e^a\}<k<2(a+1)e^{-a}$$である。すなわち、場合分けして書けば$$\{\begin{array}{ll}2(1-a)e^a<k<2(a+1)e^{-a}& (0<a<1),\\ 0<k<2(a+1)e^{-a}& (a\geqq 1)\end{array}$$となる。