九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

円$$x^2+(y-1{)}^2=4$$は中心 $(0,1)$、半径2の円である。固定した $x$ に対して$$r(x)=\sqrt{4-x^2}$$とおくと、円の内部での $y$ の範囲は$$1-r(x)\leqq y\leqq 1+r(x)$$である。

断面の型が変わる位置を元の円上で示すと次のようになる。

この縦線分を $x$ 軸のまわりに回転する。$x$ 軸をまたぐのは$$1-r(x)\leqq 0$$すなわち $r(x)\geqq 1$ のときであり、これは$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{3}$$に等しい。

したがって、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{3}$ では断面は半径 $1+r(x)$ の円板、
$\sqrt{3}<\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2$ では外半径 $1+r(x)$、内半径 $1-r(x)$
のワッシャーになる。よって求める体積を $V$ とすると$$V=\pi {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(1+r(x){)}^{2}dx+8\pi {\int }_{\sqrt{3}}^{2}r(x)dx$$である。

円弧を含む積分は、$x=2\sin \theta$ とおけば逆三角関数を
用いずに計算できる。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}4{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2\theta +\sin 2\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}3}=\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2},}\end{array}$$また$${\int }_{\sqrt{3}}^2\sqrt{4-x^2}dx={[2\theta +\sin 2\theta ]}_{\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}2}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。

中央部分については$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(1+r(x){)}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(5-x^2)dx+2{\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\sqrt{3}+4(\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =10\sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi (10\sqrt{3}+\frac{8\pi }{3})+8\pi (\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\pi \sqrt{3}+\frac{16{\pi }^2}{3}=\frac{2\pi }{3}(9\sqrt{3}+8\pi )\mathrm{.}}\end{array}$$

$x$ 軸からの距離 $y$ が一定の円筒殻で立体を分ける。同じ円筒面へ回る上下の弦のうち長い方を採用し、$u=y-1$ と移して奇関数部分と円弧積分に分ける。

半径 $y$ の円筒面に
現れる $x$ 方向の長さを考える。$0\leqq y\leqq 3$ における
高さ $y$ の水平弦の長さは $2\sqrt{4-(y-1{)}^2}$ である。
$0\leqq y\leqq 1$ では高さ $-y$ の弦も同じ円筒面へ回転するが、$$\sqrt{4-(y-1{)}^2}\geqq \sqrt{4-(-y-1{)}^2}$$ なので、下側の弦が
作る殻は上側の弦が作る殻に含まれる。

したがって、半径 $y$、高さ $2\sqrt{4-(y-1{)}^2}$ の円筒殻を
$0\leqq y\leqq 3$ で積み重ねればよい。体積は$$V=4\pi {\int }_0^{3}y\sqrt{4-(y-1{)}^2}dy$$である。$u=y-1$ とおき、2つの積分を $I_1,I_2$ と書くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =4\pi (I_1+I_2),}\\ {\displaystyle I_1}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{2}u\sqrt{4-u^2}du={[-\frac{1}{3}(4-u^2{)}^{3\mathrm{/}2}]}_{-1}^2=\sqrt{3},}\\ {\displaystyle I_2}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^2\sqrt{4-u^2}du\mathrm{.}}\end{array}$$$I_2$ では $u=2\sin \theta$ とおく。積分区間は$$-\pi \mathrm{/}6\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_2}& {\displaystyle ={\int }_{-\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}4{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2\theta +\sin 2\theta ]}_{-\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$以上より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =4\pi (\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{16{\pi }^2}{3}+6\pi \sqrt{3}=\frac{2\pi }{3}(8\pi +9\sqrt{3})\mathrm{.}}\end{array}$$