九州大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
$n=1$ のとき $$a_1={\int }_c^1\log \left(\frac{1}{x}\right)dx={\int }_c^1(-\log x)dx$$ である。原始関数は $-x\log x+x$ だから $$a_1={[-x\log x+x]}_c^1=1-(-c\log c+c)=1-c+c\log c$$ である。

$n=2$ のとき $$a_2={\int }_c^{1}2x{(\log \frac{1}{x})}^{2}dx={\int }_c^{1}2x(\log x{)}^{2}dx$$ である。ここで$$\frac{d}{dx}\left\{x^2((\log x{)}^2-\log x+\frac{1}{2})\right\}=2x(\log x{)}^2$$であるから、$${\displaystyle a_2={\left[x^2((\log x{)}^2-\log x+\frac{1}{2})\right]}_c^1}$$ となる。よって $${\displaystyle a_2=\frac{1}{2}-c^2\{(\log c{)}^2-\log c+\frac{1}{2}\}}$$ である。

(2) $${\displaystyle \varphi (x)=x\log \left(\frac{1}{x}\right)}$$ とおく。$0<x\leqq 1$ では $\log (1\mathrm{/}x)\geqq 0$ なので $\varphi (x)\geqq 0$ である。

また $${\displaystyle {\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\log \left(\frac{1}{x}\right)-1}$$ であるから、${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $${\displaystyle \log \left(\frac{1}{x}\right)=1}$$ すなわち $${\displaystyle x=\frac{1}{e}}$$ のときである。$0<x<1\mathrm{/}e$ では ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$1\mathrm{/}e<x\leqq 1$ では ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ なので、最大値は $${\displaystyle \varphi \left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}}$$ である。$e>2$ より $${\displaystyle \frac{1}{e}<\frac{1}{2}}$$ だから $${\displaystyle 0\leqq x\log \left(\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{2}}$$ が成り立つ。

(3)
積分の中身を$$n{x}^{n-1}{(\log \frac{1}{x})}^n=\frac{n}{x}{\{x\log \left(\frac{1}{x}\right)\}}^n$$と書き直す。$c\leqq x\leqq 1$ では $x>0$ であり、(2)より $${\displaystyle 0\leqq x\log \left(\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle 0\leqq {\{x\log \left(\frac{1}{x}\right)\}}^n<\frac{1}{2^n}}$$ である。

よって$$a_n={\int }_c^1\frac{n}{x}{\{x\log \left(\frac{1}{x}\right)\}}^{n}dx<{\int }_c^1\frac{n}{2^{n}x}dx$$となる。右辺は$$\frac{n}{2^n}{[\log x]}_c^1=\frac{n}{2^n}\log \left(\frac{1}{c}\right)$$である。したがって $${\displaystyle a_n<\frac{n}{2^n}\log \left(\frac{1}{c}\right)}$$ が成り立つ。

(4)
定義より $a_n\geqq 0$ であり、(3)より $${\displaystyle 0\leqq a_n<\frac{n}{2^n}\log \left(\frac{1}{c}\right)}$$ である。ここで $c$ は固定された正の定数なので、$\log (1\mathrm{/}c)$ は定数である。また $${\displaystyle \frac{n}{2^n}\to 0(n\to \mathrm{\infty })}$$ である。したがって、はさみうちにより ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$ である。