九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

円が$x$軸上を滑らずに転がるので，角$t$だけ回転したとき，中心は弧長$at$だけ右に進む。したがって中心の座標は $(at,a)$ である。

点$P$は初め中心から見て$(0,-a)$の位置にある。円が右向きに転がると，中心から$P$へのベクトルは $(-a\sin t,-a\cos t)$ となる。よって点$P$の座標は $$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$$ である。

(2)

(1) より $${\displaystyle \frac{dx}{dt}=a(1-\cos t)}$$ である。$0\leqq t\leqq 2\pi$では$1-\cos t\geqq 0$なので，面積は $$\int ydx={\int }_0^{2\pi }y(t)\frac{dx}{dt}dt$$ で求められる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \text{面積}}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2{\int }_0^{2\pi }(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2(2\pi +{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2(2\pi +\pi )}\end{array}$$である。よって $3\pi a^2$ である。

(3)

(1) より $${\displaystyle \frac{dx}{dt}=a(1-\cos t),\frac{dy}{dt}=a\sin t}$$ である。したがって曲線の長さは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\{a(1-\cos t)\}}^2+(a\sin t{)}^2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{\int }_0^{2\pi }\sqrt{2-2\cos t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a{\int }_0^{2\pi }2\sin \frac{t}{2}dt}\end{array}$$である。$0\leqq t\leqq 2\pi$では$\sin (t\mathrm{/}2)\geqq 0$であるから絶対値は不要である。よって $${\displaystyle L=2a{[-2\cos \frac{t}{2}]}_0^{2\pi }=8a}$$ である。

1回転でできるサイクロイド

青い1アーチの下側を積分する。図では見やすさのため $a=1$。