九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

1回の操作で交換する2枚の選び方は ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通りである。2回の操作は順序付きで $6^2=36$ 通りある。

2回後に元の並び $1,2,3,4$ に戻るには、2回とも同じ2枚を交換すればよい。1回目の選び方は6通りで、それぞれ2回目は同じ組に限られるから、有利な場合は6通りである。よって $$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$ である。

(2)

並び $4,3,2,1$ にするには、カード1と4を交換し、カード2と3を交換する必要がある。2回の操作でこれを行うには、交換 $(1,4)$ と交換 $(2,3)$ を1回ずつ行えばよい。順序は2通りなので、確率は $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$ である。

(3)

カード1の位置だけを見る。1回の操作でカード1が同じ位置に残るには、交換する2枚にカード1が含まれなければよい。その確率は $$\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$ である。また、指定した別の位置へ移るには、その位置にあるカードとカード1を交換する必要があるので、確率は $\frac{1}{6}$ である。

2回後に左端にある確率は、左端に残り続ける場合と、他の3位置のいずれかへ移ってから戻る場合を足せばよい。したがって $${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+3{\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{3}$$ である。

(4)

1枚のカードについて、$n$ 回後に元の位置にある確率を $p_n$ とする。元の位置にいるためには、直前にも元の位置にいて動かないか、直前に他の位置にいて元の位置へ移るかである。対称性により、元の位置以外の各位置にいる確率は $(1-p_n)\mathrm{/}3$ である。よって$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+3\cdot \frac{1-p_n}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1-p_n}{6}=\frac{1}{3}{p}_n+\frac{1}{6}$$である。

この漸化式の定常値は $p=1\mathrm{/}4$ であり、$p_0=1$ だから $$p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$ である。また、指定した別の位置にある確率は、対称性より $$\frac{1-p_n}{3}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$ である。 $n=3$ のとき、カード1が左端にある確率は $$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{27}=\frac{5}{18}$$ である。カード2,3,4が左端にある確率はそれぞれ $$\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{27}=\frac{13}{54}$$ である。したがって左端のカードの数字の期待値は$$1\cdot \frac{5}{18}+(2+3+4)\frac{13}{54}=\frac{15}{54}+\frac{117}{54}=\frac{22}{9}$$である。

(1) (2)は交換を置換として分類する。(3)はカード1が左端にある確率の1次漸化式を作る。(4)は各カードの位置確率を求めず、左端の数 $X_n$ の条件付き期待値を直接計算して、期待値だけの漸化式を解く。

(1)

1回の交換は6通りで、2回の交換列は $6^2=36$ 通りが等確率である。2つの互換の積が恒等置換になるのは同じ互換を2回行う場合だけである。よって有利な交換列は6通りで、確率は$$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$である。

(2)

逆順の並びを作る置換は、互いに素な2つの互換の積$$(14)(23)$$である。2回の交換では、この2つをどちらの順に行うかの2通りだけである。したがって確率は$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$である。

(3)

$n$ 回後にカード1が左端にある確率を $p_n$ とする。カード1が左端にあるとき、次の操作でも左端に残る確率は $1\mathrm{/}2$ である。左端以外にあるとき、カード1と左端のカードが交換される確率は $1\mathrm{/}6$ である。よって$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{1}{3}{p}_n+\frac{1}{6}\mathrm{.}$$$p_0=1$ であり、定常値は $1\mathrm{/}4$ だから$$p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$したがって$$p_2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(4)

$n$ 回後の左端の数字を $X_n$ とする。左端が $x$ のとき、交換後も $x$ のままである確率は $1\mathrm{/}2$ であり、残りの3つの数字はそれぞれ確率 $1\mathrm{/}6$ で左端へ来る。4枚の数字の和は10なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X_{n+1}\mid X_n=x)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}(10-x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$両辺の期待値を取ると、${\mu }_n=E(X_n)$ は$${\mu }_{n+1}=\frac{1}{3}{\mu }_n+\frac{5}{3},{\mu }_0=1$$を満たす。定常値は $5\mathrm{/}2$ だから$${\mu }_n=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$ゆえに$$E(X_3)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{27}=\frac{22}{9}\mathrm{.}$$