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九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし，
OP=AP=BP=CPをみたす点Pを頂点とする四角錐POABCがある。
辺APを1:3に内分する点をD，辺CPの中点をE，
辺BCをt:(1−t)に内分する点をQとする。
このとき，以下の問いに答えよ。

(1) ベクトルOD→とOE→を，
OA→，OC→，OP→を用いて表せ。

(2) ベクトルPQ→を，
OA→，OC→，OP→とtを用いて表せ。

(3) 内積OA→⋅OP→の値を求めよ。

(4) 直線PQが平面ODEに垂直であるとき，tの値および線分OPの長さを求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安24分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算、文字消去

方針

OA⃗=a⃗、OC⃗=c⃗、OP⃗=p⃗ とおき、a⃗⋅c⃗=0、∣a⃗∣=∣c⃗∣=1 を使う。等距離条件から a⃗⋅p⃗=c⃗⋅p⃗=1/2 が出る。内分点 D,E,Q を a⃗,c⃗,p⃗ で表し、PQ が平面 ODE に垂直である条件を PQ→⋅OD→=0、PQ→⋅OE→=0 として連立する。

解答

a⃗=OA→,c⃗=OC→,p⃗=OP→とおく。正方形の一辺は1なので ∣a⃗∣=∣c⃗∣=1,a⃗⋅c⃗=0 である。

(1)
点 D は辺 AP を 1:3 に内分するので OD→=34a⃗+14p⃗ である。また E は辺 CP の中点なので OE→=12c⃗+12p⃗ である。

(2) B の位置ベクトルは a⃗+c⃗ である。点 Q は BC を t:(1−t) に内分するから OQ→=(1−t)(a⃗+c⃗)+tc⃗=(1−t)a⃗+c⃗ である。したがって PQ→=(1−t)a⃗+c⃗−p⃗ である。

(3) OP=AP より ∣p⃗∣2=∣p⃗−a⃗∣2 である。右辺を展開すると ∣p⃗∣2=∣p⃗∣2−2a⃗⋅p⃗+∣a⃗∣2 だから a⃗⋅p⃗=12 である。同様に OP=CP から c⃗⋅p⃗=12 も得られる。

(4) s=∣p⃗∣2 とおく。直線 PQ が平面 ODE に垂直であるためには、平面上の2本の方向 OD,OE に垂直であればよい。したがってPQ→⋅OD→=0,PQ→⋅OE→=0である。

(1) ，(2)，(3)を用いて計算する。まずPQ→⋅OD→={(1−t)a⃗+c⃗−p⃗}⋅(34a⃗+14p⃗) =78(1−t)−14−s4 である。よって 7t+2s=5 を得る。次にPQ→⋅OE→={(1−t)a⃗+c⃗−p⃗}⋅(12c⃗+12p⃗) =1−t4+12−s2 である。よって t+2s=3 を得る。2式を引くと 6t=2 なので t=13 である。これを t+2s=3 に代入して s=43 を得る。したがって OP=s=233 であり、t=13 である。

総評

難度6、目安24分。得点源は(1)〜(3)の内分公式と等距離条件で、(4)の連立2式が合否を分ける。OP=AP から a⃗⋅p⃗=1/2 を取り出し、平面に垂直という条件をPQ⋅OD=PQ⋅OE=0 とするのが中心である。Qの内分比から位置ベクトルを作る際に係数を逆にすること、未知量をOPのまま扱って平方根を混ぜることが多い。s=∣p⃗∣2 と置き、最後に正の平方根を取る構成が安全である。

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出典: 九州大学 2013年度 前期日程 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。