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九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし，点Pを頂点とする四角錐POABCがある。
ただし，点Pは内積に関する条件OA→⋅OP→=14，
およびOC→⋅OP→=12をみたす。
辺APを2:1に内分する点をMとし，辺CPの中点をNとする。
さらに，点Pと直線BC上の点Qを通る直線PQは，平面OMNに垂直であるとする。
このとき，長さの比BQ:QC，および線分OPの長さを求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安24分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算、文字消去

方針

OA⃗=a⃗、OC⃗=c⃗、OP⃗=p⃗ とおき、与えられた内積条件をそのまま使う。点 Q は直線 BC 上なので Q=B+u(C−B) と置く。M,N を内分点として表し、PQ が平面 OMN に垂直である条件を PQ→⋅OM→=0、PQ→⋅ON→=0 として、u と OP2 を連立で求める。

解答

a⃗=OA→,c⃗=OC→,p⃗=OP→とおく。正方形の一辺は1なので ∣a⃗∣=∣c⃗∣=1,a⃗⋅c⃗=0 である。また条件より a⃗⋅p⃗=14,c⃗⋅p⃗=12 である。

点 M は AP を 2:1 に内分するので OM→=13a⃗+23p⃗ である。点 N は CP の中点だから ON→=12c⃗+12p⃗ である。

点 Q は直線 BC 上にあるので、実数 u を用いて Q=B+u(C−B) とおく。B の位置ベクトルは a⃗+c⃗ なので OQ→=(1−u)a⃗+c⃗ である。したがって PQ→=(1−u)a⃗+c⃗−p⃗ である。 s=∣p⃗∣2 とおく。PQ が平面 OMN に垂直であるからPQ→⋅OM→=0,PQ→⋅ON→=0である。まず PQ→⋅(a⃗+2p⃗)=0 を計算すると 32(1−u)+34−2s=0 である。次に PQ→⋅(c⃗+p⃗)=0 を計算すると 1−u4+1−s=0 である。

後者から s=1+1−u4 であり、これを前者に代入すると u=−14 を得る。したがって s=2116 であり、OP=214 である。

また u=−1/4 なので、Q は B から C とは反対側にある。よって BQ=14BC,QC=54BC であるから BQ:QC=1:5 である。

総評

難度6、目安24分。文系第1問に近いが、Qが辺BC上ではなく直線BC上にある点であることが重要である。内分点M、Nの位置ベクトルと、PQが平面OMNに垂直である2本の内積条件が主要配点になる。u=−1/4 を不適として捨てず、BからCと反対側への外分と読み替えて BQ:QC=1:5 とする。また s=∣p⃗∣2 からOPを求める際は正の平方根を取る。図形上の位置確認を最後に置くと符号ミスを発見しやすい。

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出典: 九州大学 2013年度 前期日程 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。