九大 2016年度理系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

方針

(1) は相加平均・相乗平均の基本不等式を、最大値・最小値との大小まで含めて示す。(2)では(1)を各段に適用し、 $a_{n}$ が単調減少、 $b_{n}$ が単調増加で、互いに挟み合うことから同じ極限へ向かうことを示す。(3)(4)は平方根を使って差を平方の形に直し、 $c_{n + 2}$ を $c_{n + 1}$ と $a_{n + 2}$ の式に変形する。

解答

(1)

$a ≧ b$ として示せば十分である。このとき $\min (a, b) = b, \max (a, b) = a$ である。まず $a ≧ b > 0$ より $b^{2} ≦ a b$ なので $b ≦ \sqrt{a b} = G (a, b)$ である。また $(a + b)^{2} - 4 a b = (a - b)^{2} ≧ 0$ より $\sqrt{a b} ≦ \frac{a + b}{2} = A (a, b)$ である。さらに $\frac{a + b}{2} ≦ a$ も明らかである。よって $\min (a, b) ≦ G (a, b) ≦ A (a, b) ≦ \max (a, b)$ が成り立つ。 $b ≧ a$ の場合も同様である。

(2)

$a_{0} > b_{0} > 0$ である。(1)を $a_{n}, b_{n}$ に適用すると $b_{n} ≦ b_{n + 1} ≦ a_{n + 1} ≦ a_{n}$ である。したがって ${a_{n}}$ は下に有界な単調減少列、 ${b_{n}}$ は上に有界な単調増加列である。よってそれぞれ極限をもつ。これらを $\lim_{n \to \infty} a_{n} = A, \lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ とおくと、上の不等式から $A ≧ B$ である。

漸化式 $a_{n + 1} = (a_{n} + b_{n}) / 2$ の両辺で極限をとると $A = \frac{A + B}{2}$ である。したがって $A = B$ である。よって2つの数列は同じ極限値に収束する。この共通の極限値を $α$ と書く。

(3)

定義より $a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1} + b_{n + 1}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{a_{n} + b_{n}}{2} + \sqrt{a_{n} b_{n}})$ である。したがって $a_{n + 2} = \frac{(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2}}{4}$ である。

(4)

まず $c_{n + 2} = \frac{a_{n + 1} - b_{n + 1}}{2} = \frac{1}{2} (\frac{a_{n} + b_{n}}{2} - \sqrt{a_{n} b_{n}})$ であるから $c_{n + 2} = \frac{(\sqrt{a_{n}} - \sqrt{b_{n}})^{2}}{4}$ である。一方、 $c_{n + 1} = \frac{a_{n} - b_{n}}{2} = \frac{(\sqrt{a_{n}} - \sqrt{b_{n}}) (\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})}{2}$ である。よって $c_{n + 2} = \frac{c_{n + 1}^{2}}{(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2}}$ となる。

(3) より $(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2} = 4 a_{n + 2}$ である。初期値で $a_{0} > b_{0}$ であり，相加平均と相乗平均の等号条件から各段階でも $a_{n} > b_{n}$ が続く。したがって ${a_{n}}$ は極限 $α$ へ厳密に単調減少するので、各 $n$ について $a_{n + 2} > α$ である。したがって $(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2} = 4 a_{n + 2} > 4 α$ である。以上より $c_{n + 2} = \frac{c_{n + 1}^{2}}{(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2}} < \frac{c_{n + 1}^{2}}{4 α} = {(\frac{1}{2 \sqrt{α}} c_{n + 1})}^{2}$ が成り立つ。

別解

解法2

方針

平均の差を平方根の差で表す。(2)では区間 $[b_{n}, a_{n}]$ が入れ子になり，その長さが毎回半分未満になることを示して，共通極限を定量的に得る。(4)では $c_{n + 2} = c_{n + 1}^{2} / (4 a_{n + 2})$ という正確な式から評価する。

解答

(1)
$a ≧ b$ としてよい。このとき $\sqrt{a b} - b = \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b}) ≧ 0,$ $\frac{a + b}{2} - \sqrt{a b} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} ≧ 0,$ $a - \frac{a + b}{2} = \frac{a - b}{2} ≧ 0.$ したがって $b ≦ G (a, b) ≦ A (a, b) ≦ a .$ $b ≧ a$ の場合は文字を入れ替えればよいので，題意の不等式が成り立つ。

(2)
$a_{n} > b_{n} > 0$ なら(1)の等号条件から $\begin{matrix} b_{n} < b_{n + 1} < a_{n + 1} < a_{n} & (1) \end{matrix}$ である。したがって $[b_{n + 1}, a_{n + 1}]$ は $[b_{n}, a_{n}]$ の内部にある。

さらに $\begin{aligned} a_{n + 1} - b_{n + 1} & = \frac{(\sqrt{a_{n}} - \sqrt{b_{n}})^{2}}{2} \\ = \frac{(a_{n} - b_{n})^{2}}{2 (\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2}} \\ < \frac{a_{n} - b_{n}}{2} . \end{aligned}$ よって $\begin{matrix} 0 < a_{n} - b_{n} < \frac{a - b}{2^{n}} ⟶ 0. & (2) \end{matrix}$ (1)より ${a_{n}}$ は単調減少で下に有界， ${b_{n}}$ は単調増加で上に有界だから，それぞれ極限をもつ。(2)より2つの極限の差は0である。したがって両数列は同じ極限 $α$ に収束する。

(3) $\begin{aligned} a_{n + 2} & = \frac{1}{2} (\frac{a_{n} + b_{n}}{2} + \sqrt{a_{n} b_{n}}) \\ = \frac{(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2}}{4} . \end{aligned}$ (4) $c_{n + 2} = \frac{(\sqrt{a_{n}} - \sqrt{b_{n}})^{2}}{4}$ であり， $c_{n + 1} = \frac{(\sqrt{a_{n}} - \sqrt{b_{n}}) (\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})}{2} .$ したがって $\begin{matrix} c_{n + 2} = \frac{c_{n + 1}^{2}}{(\sqrt{a_{n}} + \sqrt{b_{n}})^{2}} = \frac{c_{n + 1}^{2}}{4 a_{n + 2}} . & (3) \end{matrix}$ (1)より ${a_{n}}$ は極限 $α$ へ厳密に単調減少するので $a_{n + 2} > α .$ これを(3)へ用いると $c_{n + 2} < \frac{c_{n + 1}^{2}}{4 α} = {(\frac{1}{2 \sqrt{α}} c_{n + 1})}^{2} .$

総評

難度7、計算量6。相加平均と相乗平均を反復する問題で、単調性と差の評価を丁寧につなぐ必要がある。目安時間は20分程度。(2)では $b_{n} ≦ b_{n + 1} ≦ a_{n + 1} ≦ a_{n}$ の鎖を作ること、(4)では $c_{n + 2}$ を $c_{n + 1}^{2}$ で表したうえで分母を $4 a_{n + 2}$ と見ることが核心である。 $a_{n}$ と $b_{n}$ が同じ極限に収束する理由を、単に「近づく」と書かず、極限を漸化式に代入して示すと答案が締まる。

出典: 九州大学 2016年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

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九州大学 2016年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問