九大 2017年度理系（後期）数学第5問｜問題・解答・解説

方針

フィボナッチ型数列の基本性質を使う。(1)は $n ≧ 2$ で $a_{n + 1} > a_{n}$ を確認してから示す。(2)は $m$ に関する帰納法で， $m$ 以下の最大の項 $a_{n}$ を取り，残り $r = m - a_{n}$ が $a_{n - 1}$ 未満になることを使う。 $m = a_{n}$ の場合も $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ で2項に分ける。(3)は(1)から $a_{j} ≧ 2^{(j - 2) / 2}$ を導き， $k$ 個の異なる項の最大添字が少なくとも $k$ であることから項数を評価する。

解答

(1)
まず $n ≧ 2$ では数列は増加していることを確認する。実際， $a_{2} = 1 < a_{3} = 2$ であり，その後は $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1} > a_{n}$ が成り立つ。したがって $n ≧ 2$ では $a_{n + 1} > a_{n}$ である。よって $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} > 2 a_{n}$ が成り立つ。

(2) $m$ に関する数学的帰納法で示す。 $m = 2$ のときは $2 = a_{1} + a_{2}$ であり，互いに異なる2個の項の和で表される。 $2, 3, \dots, m - 1$ について主張が成り立つと仮定し， $m$ について示す。 $m$ 以下の最大の項を $a_{n}$ とする。すなわち $a_{n} ≦ m < a_{n + 1}$ である。

もし $m = a_{n}$ なら， $m ≧ 2$ より $n ≧ 3$ であり $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ だから， $m$ は互いに異なる2個の項の和で表される。

次に $m > a_{n}$ とする。このとき $r = m - a_{n}$ とおくと， $r > 0$ である。また $m < a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}$ より $r < a_{n - 1}$ である。 $r = 1$ なら $m = a_{n} + a_{1}$ と表せる。ここで $n ≧ 3$ なので， $a_{n}$ と $a_{1}$ は異なる項である。 $r ≧ 2$ なら，帰納法の仮定により， $r$ は互いに異なる2個以上の項の和で表される。しかも $r < a_{n - 1}$ であるから，その表現に $a_{n - 1}$ 以上の項は現れない。したがって，そこに $a_{n}$ を加えても項は重ならず， $m$ は互いに異なる項の和で表される。以上で帰納法が完了した。

(3)
(1)より，添字を2つ進めるごとに値は2倍より大きくなる。特に $j ≧ 2$ について $a_{j} ≧ 2^{(j - 2) / 2}$ が成り立つ。これは $j = 2, 3$ で直接確かめられ，その後は(1)を繰り返せばよい。 $m$ を互いに異なる $k$ 個の項の和で表したとする。この $k$ 個の項の中で最大の添字を $r$ とすると，異なる添字が $k$ 個あるので $r ≧ k$ である。したがって最大の項は少なくとも $a_{k}$ 以上である。また和 $m$ は最大の項だけでなく他の正の項も含むので $m > a_{k}$ である。よって $m > a_{k} ≧ 2^{(k - 2) / 2}$ となる。両辺の $2$ を底とする対数をとると $\log_{2} m > \frac{k - 2}{2}$ であるから $k < 2 \log_{2} m + 2$ が成り立つ。

別解

解法2

方針

(1) は単調増加性から示す。(2)は $m$ 以下の最大の項を選ぶ貪欲法を強い帰納法として記述する。(3)は添字を2つ進めるごとの増加率から最大添字を評価する。

解答

(1) $n ≧ 2$ では $a_{n + 1} > a_{n}$ である。したがって $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} > 2 a_{n} .$ (2) $m$ に関する強い帰納法を用いる。 $m = 2$ は $a_{1} + a_{2}$ と表せる。 $2 ≦ r < m$ で主張が成り立つと仮定し， $a_{n} ≦ m < a_{n + 1}$ となる最大の項 $a_{n}$ を取る。

$m = a_{n}$ なら $m = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ でよい。 $m > a_{n}$ なら $r = m - a_{n}$ とおく。 $m < a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}$ より $0 < r < a_{n - 1}$ である。 $r = 1$ なら $m = a_{n} + a_{1}$ ， $r ≧ 2$ なら帰納法の仮定で $r$ を互いに異なる項の和にできる。その各項は $a_{n - 1}$ より小さいため $a_{n}$ と重ならない。よって主張が成り立つ。

(3) (1)を繰り返すと $a_{j} ≧ 2^{(j - 2) / 2} (j ≧ 2) .$ $m$ を異なる $k$ 項の和で表したとき，最大添字は少なくとも $k$ である。さらに最大項以外にも正の項があるので $m > a_{k} ≧ 2^{(k - 2) / 2} .$ 底2の対数を取れば $k < 2 \log_{2} m + 2.$

総評

難度7，計算量5。目安時間は28分。フィボナッチ型数列を使った表現可能性の証明で，最大の項を引いて残りを帰納法に回す発想が中心である。 $m = a_{n}$ の場合を別に処理しないと，1項だけの表現になってしまうので注意したい。(3)では和の最大項が $a_{k}$ 以上で，さらに他の正の項も足されているため $m > a_{k}$ となる。この厳密な不等号が，結論の $<$ につながる。

出典: 九州大学 2017年度後期理系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

方針

解答

別解

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総評

九州大学 2017年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第5問