九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

硬貨を左から順に1番，2番，$\dots$，6番とする。

(1)
2回の操作Lの出目を $i,j$ とする。1回目は左から $i$ 枚、2回目は左から $j$ 枚を反転する。2回とも反転された硬貨は表に戻るので、最終的に裏になる硬貨の枚数は $\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }$ である。表が1枚になるには、裏が5枚になればよいから $\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }=5$ である。$1\leqq i,j\leqq 6$ でこれを満たすのは $(i,j)=(1,6),(6,1)$ の2通りである。よって求める確率は $$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$ である。

(2)
操作Lの出目を $i$、操作Rの出目を $j$ とする。左から $r$ 番目の硬貨について考える。この硬貨が操作Lで反転される確率は $\frac{7-r}{6}$ であり、操作Rで反転される確率は $\frac{r}{6}$ である。2つの出目は独立である。

この硬貨が最後に表であるのは、2回とも反転されるか、2回とも反転されない場合である。したがってその確率は$$\frac{7-r}{6}\cdot \frac{r}{6}+(1-\frac{7-r}{6})(1-\frac{r}{6})$$ $$=-\frac{1}{6}+\frac{r(7-r)}{18}$$ である。よって表の枚数の期待値は$$\sum _{r=1}^6(-\frac{1}{6}+\frac{r(7-r)}{18})=-1+\frac{1}{18}\sum _{r=1}^{6}r(7-r)$$である。ここで $$\sum _{r=1}^{6}r(7-r)=7\sum _{r=1}^{6}r-\sum _{r=1}^6{r}^2=147-91=56$$ だから、期待値は $$-1+\frac{56}{18}=\frac{19}{9}$$ である。

(3)
3回の出目を順に $i,j,k$ とする。2回の操作Lによって奇数回反転される硬貨は、左端から $i$ 枚の集合と左端から $k$ 枚の集合の差である。これは、$i<k$ なら $\{i+1,i+2,\dots ,k\}$ であり、$i>k$ なら $\{k+1,k+2,\dots ,i\}$ である。$i=k$ なら空集合である。

操作Rによって反転される硬貨は右端から $j$ 枚、すなわち $\{7-j,8-j,\dots ,6\}$ である。すべての硬貨が表に戻るには、操作Rで反転される集合と、2回の操作Lで奇数回反転される集合が一致すればよい。 $i<k$ の場合、一致するには右端が6でなければならないので $k=6$、さらに $i=6-j$ である。$j=1,2,\dots ,5$ について5通りある。$i>k$ の場合も同様に $i=6$、$k=6-j$ であり、これも5通りある。$j=6$ では $i$ または $k$ が0になってしまうので不適である。

したがって有利な出目は $5+5=10$ 通りであり、全体は $6^3=216$ 通りである。求める確率は $$\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$$ である。

(1) は2回のLの出目の差、(2)はLとRの出目の和 $s=i+j$ で場合をまとめる。重ならない場合と重なる場合で表の枚数がそれぞれ $6-s$、$s-6$ になる。(3)は左端区間2つの対称差が必ず1つの連続区間になることを使い、その区間が右端に達する条件から出目を直接数える。

(1)
2回の出目を $i,j$ とする。左から $\min (i,j)$ 枚は2回反転して表に戻り、
その次の $\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }$ 枚だけが裏になる。したがって最後の表の枚数は$$6-\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }$$である。これが1となるのは $\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }=5$、すなわち$$(i,j)=(1,6),(6,1)$$の2通りである。よって確率は$$\frac{2}{6^2}=\frac{1}{18}$$である。

(2)
L、Rの出目を $i,j$ とし、$s=i+j$ とおく。$2\leqq s\leqq 6$ では左右の反転区間は
重ならず、表は中央に $6-s$ 枚残る。この和を与える順序付きの組は $s-1$ 通りである。

$7\leqq s\leqq 12$ では2つの区間が重なり、その重なりだけが2回反転して表に戻る。
表の枚数は $s-6$、組の数は $13-s$ 通りである。したがって36通りにおける表の総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \sum _{s=2}^6(s-1)(6-s)+\sum _{s=7}^{12}(13-s)(s-6)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =20+56=76.}\end{array}$$ゆえに期待値は$$\frac{76}{36}=\frac{19}{9}$$である。

(3)
左から $m$ 枚の集合を $F_m=\{1,2,\dots ,m\}$、右から $j$ 枚の集合を
$G_j=\{7-j,\dots ,6\}$ とする。3回の出目を $i,j,k$ とすれば、すべて表に戻る条件は$$F_i\mathrm{△}{F}_k=G_j$$である。ただし左辺は2つの集合のうち一方だけに属する硬貨の集合を表す。

$i<k$ なら左辺は $\{i+1,\dots ,k\}$ である。これが右端区間 $G_j$ と一致するには$$k=6,i=6-j$$が必要十分である。$i\geqq 1$ より $j=1,2,\dots ,5$ の5通りを得る。
$i>k$ の場合も $i=6,k=6-j$ の5通りである。$i=k$ では左辺が空集合なので不適である。
したがって有利な出目は10通りであり、$$\frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}$$である。