九大 2014年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

区間 $1 / (k + 1) < x < 1 / k$ には $f_{n} (x)$ の零点がないので、 $f_{n}^{'} (x) = 0$ は $f_{n}^{'} (x) / f_{n} (x) = 0$ と同値に扱える。積の微分を用いて $f_{n}^{'} (x) / f_{n} (x) = \sum_{j = 1}^{n} 1 / (x - 1 / j)$ と表し、この右辺を $g (x)$ とおく。 $g^{'} (x) < 0$ なので単調減少し、区間の左端で $+ \infty$ 、右端で $- \infty$ に発散することから、零点がただ1つある。最後に $f_{n}$ の符号が区間内で一定であることを使い、その零点で極値をとることを示す。

解答

$f_{n} (x) = (x - 1) (2 x - 1) \dots (n x - 1)$ である。 $f_{n} (x) = 0$ となるのは $x = 1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n}$ のときである。したがって、区間 $\frac{1}{k + 1} < x < \frac{1}{k}$ では $f_{n} (x) \neq 0$ である。

この区間で $f_{n}^{'} (x) / f_{n} (x)$ を考える。積の微分を用いると、各因子を1つずつ微分した項の和になるので $\frac{f_{n}^{'} (x)}{f_{n} (x)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} + \dots + \frac{n}{n x - 1}$ である。ここで $\frac{j}{j x - 1} = \frac{1}{x - 1 / j}$ だから $\frac{f_{n}^{'} (x)}{f_{n} (x)} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{x - 1 / j}$ である。

右辺を $g (x) = \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{x - 1 / j}$ とおく。すると $g^{'} (x) = - \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{(x - 1 / j)^{2}} < 0$ であるから、 $g (x)$ はこの区間で単調に減少する。

また、 $x \to 1 / (k + 1) + 0$ のとき、項 $\frac{1}{x - 1 / (k + 1)}$ が $+ \infty$ に発散し、他の項は有限の値に近づく。したがって $\lim_{x \to 1 / (k + 1) + 0} g (x) = + \infty$ である。一方、 $x \to 1 / k - 0$ のとき、項 $\frac{1}{x - 1 / k}$ が $- \infty$ に発散し、他の項は有限の値に近づく。したがって $\lim_{x \to 1 / k - 0} g (x) = - \infty$ である。

よって単調減少性と連続性から、この区間に $g (x) = 0$ を満たす点がただ1つ存在する。区間内では $f_{n} (x) \neq 0$ なので、これは $f_{n}^{'} (x) = 0$ を満たす点がただ1つ存在することと同値である。

さらに、 $g (x)$ はその点の左側で正、右側で負である。 $f_{n} (x)$ は区間内で0にならないので符号が一定であり、 $f_{n}^{'} (x) = f_{n} (x) g (x)$ の符号はその1点を境に必ず変化する。したがって $f_{n} (x)$ は区間 $\frac{1}{k + 1} < x < \frac{1}{k}$ でただ1つの極値をとる。

別解

解法2（ロルの定理と次数）

方針

多項式 $f_{n}$ は $1, 1 / 2, \dots, 1 / n$ を相異なる零点にもつ。隣り合う零点の間ごとにロルの定理を使えば、導関数の零点が少なくとも1つずつ得られる。一方 $f_{n}^{'}$ は $n - 1$ 次式なので、全体でそれ以上の零点をもてない。最後に区間内で $f_{n}$ の符号が一定であることから、その1点が実際に極値を与えると確認する。

解答

$f_{n} (x)$ は $n$ 次多項式であり、相異なる零点 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$ をもつ。各 $k = 1, 2, \dots, n - 1$ について、閉区間 $[\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ の両端で $f_{n}$ の値は0である。したがってロルの定理により、開区間 $\frac{1}{k + 1} < x < \frac{1}{k}$ には $f_{n}^{'} (x) = 0$ となる点が少なくとも1つ存在する。

このような区間は互いに交わらず、全部で $n - 1$ 個ある。一方、 $f_{n}^{'} (x)$ は $n - 1$ 次多項式だから、相異なる実数解を $n - 1$ 個より多くもつことはできない。よって各区間には $f_{n}^{'} (x) = 0$ となる点がちょうど1つずつ存在する。

さらに、各区間の内部では $f_{n} (x) \neq 0$ であり、連続性から符号は一定である。両端では0、内部では同符号の0でない値をとるので、区間内のただ1つの停留点で、符号が正なら極大値、負なら極小値をとる。したがって $f_{n} (x)$ は各区間でただ1つの極値をとる。

総評

難度7、計算量5。目安時間は20分。積で定義された多項式の微分を、そのまま展開せず $f_{n}^{'} / f_{n}$ の形で扱うのが決め手である。区間内には根がないため割り算が正当化でき、 $g (x) = \sum 1 / (x - 1 / j)$ の単調減少性に帰着する。左端で $+ \infty$ 、右端で $- \infty$ になる項がそれぞれ $j = k + 1$ 、 $j = k$ であることを明示すると、零点の存在と一意性がはっきりする。最後に、導関数の零点があるだけでなく符号が変わるので極値である、と書くのが重要である。第2解法は、隣接する零点間へロルの定理を適用し、導関数の次数で個数を確定する問題の意図に沿った方法である。

出典: 九州大学 2014年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

九州大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問