九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

曲線 $C$ は $x$ 軸と $x=0,\alpha ,\beta$ で交わるので $y=x(x-\alpha )(x-\beta )$ と表せる。$0<x<\alpha$ では $x>0$，$x-\alpha <0$，$x-\beta <0$ だから $y>0$ であり、$\alpha <x<\beta$ では $y<0$ である。

原始関数を $$F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{\alpha +\beta }{3}{x}^3+\frac{\alpha \beta }{2}{x}^2$$ とおく。すると$${\int }_0^{\alpha }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=F(\alpha )=-\frac{{\alpha }^4}{12}+\frac{{\alpha }^3\beta }{6}$$であり、また$${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=F(\beta )=-\frac{{\beta }^4}{12}+\frac{\alpha {\beta }^3}{6}$$である。面積の和は$$S={\int }_0^{\alpha }ydx-{\int }_{\alpha }^{\beta }ydx=2{\int }_0^{\alpha }ydx-{\int }_0^{\beta }ydx$$だから、$$S=2(-\frac{{\alpha }^4}{12}+\frac{{\alpha }^3\beta }{6})-(-\frac{{\beta }^4}{12}+\frac{\alpha {\beta }^3}{6})$$である。よって を得る。

(2)

$\beta$ を定数として $S$ を $\alpha$ で微分する。$$\frac{dS}{d\alpha }=\frac{-8{\alpha }^3+12{\alpha }^2\beta -2{\beta }^3}{12}=-\frac{(2\alpha -\beta )(2{\alpha }^2-2\alpha \beta -{\beta }^2)}{6}$$である。ここで $$2{\alpha }^2-2\alpha \beta -{\beta }^2=0$$ の解は $$\alpha =\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}\beta$$ であり、$0<\alpha <\beta$ に入るものはない。したがって $0<\alpha <\beta$ の範囲で臨界点となるのは $$2\alpha -\beta =0,\alpha =\frac{\beta }{2}$$ だけである。

また $0<\alpha <\beta$ では $2{\alpha }^2-2\alpha \beta -{\beta }^2<0$ である。したがって $dS\mathrm{/}d\alpha$ は $0<\alpha <\beta \mathrm{/}2$ で負、$\beta \mathrm{/}2<\alpha <\beta$ で正となる。よって $S$ は $\alpha =\beta \mathrm{/}2$ で最小となる。 である。

$u=\alpha \mathrm{/}\beta$，$x=\beta s$ と無次元化し，面積を ${\beta }^4$ と $u$ の多項式の積にする。(1)の積分をこの形で行った後，(2)では $u=1\mathrm{/}2$ のときとの差を平方因子を含む形に因数分解し，微分を使わずに最小値を決定する。

(1) $$u=\frac{\alpha }{\beta }(0<u<1),x=\beta s$$とおく。曲線の式は$$y=x(x-\alpha )(x-\beta )={\beta }^{3}s(s-u)(s-1)$$となり，$dx=\beta ds$ である。したがって$$\begin{array}{cccc}& \frac{S}{{\beta }^4}={\int }_0^{u}s(s-u)(s-1)ds-{\int }_u^{1}s(s-u)(s-1)ds\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$ここで$$H(s)=\frac{s^4}{4}-\frac{u+1}{3}{s}^3+\frac{u}{2}{s}^2$$とおくと$$H(u)=-\frac{u^4}{12}+\frac{u^3}{6},H(1)=\frac{2u-1}{12}\mathrm{.}$$よって(1)は$$\frac{S}{{\beta }^4}=2H(u)-H(1)=\frac{1-2u^4+4u^3-2u}{12}\mathrm{.}$$$u=\alpha \mathrm{/}\beta$ を戻せばである。

(2) $$f(u)=1-2u^4+4u^3-2u$$とおく。直接因数分解すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(u)-f\left(\frac{1}{2}\right)}& {\displaystyle =-\frac{(2u-1{)}^2(4u^2-4u-5)}{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2u-1{)}^2(5+4u-4u^2)}{8}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<u<1$ では$$5+4u-4u^2=6-4{(u-\frac{1}{2})}^2>0$$である。したがって $f(u)\geqq f(1\mathrm{/}2)$ であり，等号は $u=1\mathrm{/}2$ のときに限る。ゆえに $S$ を最小にするのはである。